如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上一点，且-优题课

如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A (1, 0)$ ， $B (4, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 经过 $B$ ， $C$ 两点．

（1）直接写出二次函数的解析式　　；

（2）平移直线 $BC$ ，当直线 $BC$ 与抛物线有唯一公共点 $Q$ 时，求此时点 $Q$ 的坐标；

（3）过（2）中的点 $Q$ 作 $QE / / y$ 轴，交 $x$ 轴于点 $E$ ．若点 $M$ 是抛物线上一个动点，点 $N$ 是 $x$ 轴上一个动点，是否存在以 $E$ ， $M$ ， $N$ 三点为顶点的直角三角形（其中 $M$ 为直角顶点）与 $ΔBOC$ 相似？如果存在，请直接写出满足条件的点 $M$ 的个数和其中一个符合条件的点 $M$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

阅读理解：

材料一：若三个非零实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 构成"和谐三数组"．

材料二：若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + bx + c = 0 (a \neq 0)$ 的两根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则有 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ ．

问题解决：

（1）请你写出三个能构成"和谐三数组"的实数　　；

（2）若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + bx + c = 0 (a$ ， $b$ ， $c$ 均不为 $0)$ 的两根， $x_{3}$ 是关于 $x$ 的方程 $bx + c = 0 (b$ ， $c$ 均不为 $0)$ 的解．求证： $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 可以构成"和谐三数组"；

（3）若 $A (m, y_{1})$ ， $B (m + 1, y_{2})$ ， $C (m + 3, y_{3})$ 三个点均在反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 的图象上，且三点的纵坐标恰好构成"和谐三数组"，求实数 $m$ 的值．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AC$ 是 $⊙ O$ 的一条弦，点 $P$ 是 $⊙ O$ 上一点，且 $PA = PC$ ， $PD / / AC$ ，与 $BA$ 的延长线交于点 $D$ ．

（1）求证： $PD$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $\tan ∠ PAC = \frac{2}{3}$ ， $AC = 12$ ，求直径 $AB$ 的长．

甲、乙两支工程队修建二级公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的2倍，如果两队各自修建公路 $500 m$ ，甲队比乙队少用5天．

（1）求甲，乙两支工程队每天各修路多少米？

（2）我市计划修建长度为 $3600 m$ 的二级公路，因工程需要，须由甲、乙两支工程队来完成．若甲队每天所需费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，求在总费用不超过40万元的情况下，至少安排乙队施工多少天？

如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图2，等边三角形 $ABC$ 的三个顶点处各有一个圆圈．丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈 $A$ 起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长．如：若第一次掷得点数为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈 $C$ ；若第二次掷得点数为4，就从圈 $C$ 继续逆时针连续跳4个边长，落到圈 $A$ ．

（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈 $A$ 的概率为　　；

（2）丫丫和甲甲一起玩跳圈游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈 $A$ 为胜者．这个游戏规则公平吗？请说明理由．