（本小题满分12分）
设双曲线
的方程为
，
、
为其左、右两个顶点，
是双曲线 上的任意一点，作
，
，垂足分别为、，
与
交于点
.
（1）求点的轨迹
方程；
（2）设、的离心率分别为
、
，当
时，求的取值范围.
设X为随机变量，从棱长为a的正方体
,的八个顶点中任取四个点，当四点共面时，X=0；当四点不共面时，X的值为四点组成的四面体的体积．
（1）求概率P(X=0)；
（2）求X的分布列，并求其数学期望E(X)．
在
ABC中，记角A，B，C的对边为a，b，c，角A为锐角，设向量
，且
．
（1）求角A的大小及向量
与
的夹角；
（2）若
，求ABC面积的最大值．
（本题满分
分）已知
，函数
.（
的图像连续不断）
（1）求的单调区间；
（2）当
时，证明：存在
，使
；
（3）若存在均属于区间
的
，且
，使
，证明
如图，已知椭圆
：
，其左右焦点为
及
，过点
的直线交椭圆于
两点，线段
的中点为
，的中垂线与
轴和
轴分别交于
两点，且
、
、
构成等差数列.
（1）求椭圆的方程；
（2）记△
的面积为
，△
（
为原点）的面积为
．试问：是否存在直线，使得
？说明理由．
（本题满分
分）设数列
的前
项和为
，已知
，
，
.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：对一切正整数，有
.