已知数列满足：，其中为的前n项和．（1）求的通项公式；（2）-优题课

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已知数列满足：，其中为的前n项和．
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求的前n项和．

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如图，四边形 $A B C D$ 是圆 $O$ 的内接四边形， $A B$ 的延长线与 $D C$ 的延长线交于点 $E$ ，且 $C B = C E$ .

（Ⅰ）证明： $∠ D = ∠ E$ ；
（Ⅱ）设 $A D$ 不是圆 $O$ 的直径， $A D$ 的中点为 $M$ ，且 $M B = M C$ ，证明： $△ A D E$ 为等边三角形.

设函数 $f (x) = a e^{x} \ln x + \frac{b e^{x - 1}}{x}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = e (x - 1) + 2$ .

（I）求 $a, b$ ;

（II）证明： $f (x) > 1$ .

已知点 $A (0, - 2)$ ,椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ； $F$ 是椭圆 $E$ 的右焦点，直线 $A F$ 的斜率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ， $O$ 为坐标原点.
（I）求 $E$ 的方程；
（II)设过点 $A$ 的动直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $P, Q$ 两点.当 $∆ O P Q$ 的面积最大时，求 $l$ 的直线方程.

如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 为菱形， $A B ⊥ B_{1} C$ .

（Ⅰ）证明： $A C = A B_{1}$ ;
（Ⅱ）若 $A C ⊥ A B_{1}$ ， $∠ C B B_{1} = 60 °$ , $A B = B C$ ,求二面角 $A - A_{1} B_{1} - C_{1}$ 的余弦值.

从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：

（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值 $x$ 和样本方差 $s^{2}$ （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标 $Z$ 服从正态分布，其中 $μ$ 近似为样本平均数 $x$ ，近似为样本方差 $s^{2}$ .
（i）利用该正态分布，求 $P (187.8 < Z < 212.2)$ ；
（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记 $X$ 表示这100件产品中质量指标值位于区间 $(187.8, 212.2)$ 的产品件数.利用（i）的结果，求 $E X$ .
附： $\sqrt{150} \approx 12.2$

若则，。

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