如图，△ABC中，已知∠BAC45°，AD⊥BC于D，BD2-优题课

如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的长。

小萍同学灵活运用了轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题。
（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D、C点的对称点分别为E、F，延长EB、FC相交于G点，求证：四边形AEGF是正方形；
（2）设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：对称式和轮换对称式

某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量 $y$ （件 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：

销售单价 $x$ （元)	40	60	80
日销售量 $y$ （件)	80	60	40

（1）直接写出 $y$ 与 $x$ 的关系式　　；

（2）求公司销售该商品获得的最大日利润；

（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过 $a$ 元，在日销售量 $y$ （件 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求 $a$ 的值．

如图，以 $AB$ 为直径的 $⊙ O$ 经过 $ΔABC$ 的顶点 $C$ ，过点 $O$ 作 $OD / / BC$ 交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，交 $AC$ 于点 $F$ ，连接 $BD$ 交 $AC$ 于点 $G$ ，连接 $CD$ ，在 $OD$ 的延长线上取一点 $E$ ，连接 $CE$ ，使 $∠ DEC = ∠ BDC$ ．

（1）求证： $EC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 的半径是3， $DG \cdot DB = 9$ ，求 $CE$ 的长．

为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地 $A$ 和人工智能科技馆 $C$ 参观学习如图，学校在点 $B$ 处， $A$ 位于学校的东北方向， $C$ 位于学校南偏东 $30 °$ 方向， $C$ 在 $A$ 的南偏西 $15 °$ 方向 $(30 + 30 \sqrt{3}) km$ 处．学生分成两组，第一组前往 $A$ 地，第二组前往 $C$ 地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是 $40 km / h$ ，第二组乘公交车，速度是 $30 km / h$ ，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．

某校准备组建"校园安全宣传队"，每班有两个队员名额，七年2班有甲、乙、丙、丁四位同学报名，这四位同学综合素质都很好，王老师决定采取抽签的方式确定人选．具体做法是：将甲、乙、丙、丁四名同学分别编号为1、2、3、4号，将号码分别写在4个大小、质地、形状、颜色均无差别的小球上，然后把小球放入不透明的袋子中，充分搅拌均匀后，王老师从袋中随机摸出两个小球，根据小球上的编号确定本班"校园安全宣传员"人选．

（1）用画树状图或列表法，写出"王老师从袋中随机摸出两个小球"可能出现的所有结果．

（2）求甲同学被选中的概率．

由于疫情的影响，学生不能返校上课，某校在直播授课的同时还为学生提供了四种辅助学习方式： $A$ 网上自测， $B$ 网上阅读， $C$ 网上答疑， $D$ 网上讨论．为了解学生对四种学习方式的喜欢情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查，规定被调查学生从四种方式中选择自己最喜欢的一种，根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：

根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次共调查了　　名学生；

（2）在扇形统计图中， $m$ 的值是　　， $D$ 对应的扇形圆心角的度数是　　；

（3）请补全条形统计图；

（4）若该校共有2000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校最喜欢方式 $D$ 的学生人数．