【原创】去年我市教育局开展了认领文明清单活动，今年开学为落实-优题课

【原创】去年我市教育局开展了认领“文明清单”活动，今年开学为落实认领“文明清单”活动，我校初一、初二两个年组对活动情况进行了统计，落实后的清单条数由落实前的清单条数与落实后认领的条数两部分组成（已知落实前每个年组的清单条数相同，落实后人均条数一样），下表是初一、初二的学生数及落实后清单条数的情况信息：

	初一	初二	初三
人数	200	180	210
清单总数（条）	1800	1700

（1）试求落实前各年组的清单总数及落实后人均认领清单条数？
（2）如果初三年组想要清单条数达到2480条，那么初三年组人均应该认领多少条？

科目数学题型解答题难度中等

知识点：统计量的选择

在Rt $△ ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ} ， AB = 5 ， BC = 3$ ，将 $ABC$ 绕点 $B$ 顺时针旋转得到 $△ A^{'} B C^{'}$ ，其中点 $A ， C$ 的对应点分别为点 $A^{'} ， C^{'}$ .

（1）如图①，当点 $A^{'}$ 落在 $AC$ 的延长线上时，求 $A A^{'}$ 的长；

（2）如图②，当点 $C^{'}$ 落在 $AB$ 的延长线上时，连接 $C C^{'}$ 交 $A^{'} B$ 于点 $M$ ，求 $BM$ 的长；

（3）如图③，连接 $A A^{'} ， C C^{'}$ ，直线 $C C^{'}$ 交 $A A^{'}$ 于点 $D$ ，点 $E$ 为 $AC$ 的中点，连接 $DE$ .在旋转过程中， $DE$ 是否存在最小值?若存在，求出 $DE$ 的最小值；若不存在，请说明理由.

已知平面直角坐标系中，点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 和直线 $Ax + By + C = 0$ （其中 $A ， B$ 不全为0 $）$ ，则点 $P$ 到直线 $Ax + By + C = 0$ 的距离 $d$ 可用公式 $d = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}}$ 来计算.

例如:求点 $P （ 1 ， 2 ）$ 到直线 $y = 2 x + 1$ 的距离，因为直线 $y = 2 x + 1$ 可化为 $2 x - y + 1 = 0$ ，其中 $A = 2 ， B = - 1 ， C = 1$ ，所以点 $P （ 1 ， 2 ）$ 到直线 $y = 2 x + 1$ 的距离为 $d = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} = \frac{| 2 \times 1 + （ - 1 ） \times 2 + 1 |}{\sqrt{2^{2} + （ - 1 ）^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .根据以上材料，解答下列问题:

（1）求点 $M （ 0 ， 3 ）$ 到直线 $y = \sqrt{3} x + 9$ 的距离；

（2）在（1）的条件下， $⊙ M$ 的半径 $r = 4$ ，判断 $⊙ M$ 与直线 $y = \sqrt{3} x + 9$ 的位置关系，若相交，设其弦长为 $n$ ，求 $n$ 的值；若不相交，说明理由.

如图，在 $△ ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ} ， CD ⊥ AB$ 于点 $D ， CD = 1$ ，已知 $AD ， BD$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + px + q = 0$ 的两根，且 $\tan A - \tan B = 2$ ，求 $p ， q$ 的值.

如图①，在， $Rt △ ABC$ 中，以下是小亮探究 $\frac{a}{\sin A}$ 与 $\frac{b}{\sin B}$ 之间关系的方法:

$∵ \sin A = \frac{a}{c} ， \sin B = \frac{b}{c} ， ∴ c = \frac{a}{\sin A} ， c = \frac{b}{\sin B} ， ∴ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} .$

根据你掌握的三角函数知识.在图②）的锐角 $△ ABC$ 中，探究 $\frac{a}{\sin A} ， \frac{b}{\sin B} ， \frac{c}{\sin C}$ 之间的关系，并写出探究过程.

在 $Rt △ ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ} ， ∠ ABC = α$ ，点 $P$ 在 $△ ABC$ 的内部.

（1）如图①， $AB = 2 AC ， PB = 3$ ，点 $M ， N$ 分别在 $AB ， BC$ 边上，则 $\cos α =________， △ PMN$ 周长的最小值为________.

（2）如图②，若条件 $AB = 2 AC$ 不变，而 $PA = \sqrt{2} ， PB = \sqrt{10} ， PC = 1$ ，求 $△ ABC$ 的面积；

（3）若 $PA = m ， PB = n ， PC = k$ ，且 $k = m \cos α = n \sin α$ ，直接写出 $∠ APB$ 的度数.

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