学完证明（二）一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M、N分-优题课

学完“证明（二）”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M、N分别在正三角形ABC的边BC．CA上，且BM=CN，AM、BN交于点Q。求证：∠BQM=60°。

（1）请你完成这道思考题；
（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：
①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题?
②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM＝60°？
③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC、CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM＝60°？对②，③进行证明。（自己画出对应的图形）

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆内接四边形的性质

（1）计算： $\sqrt{8} - 4 \cos 45 ° + {(- 1)}^{2020}$ ．

（2）化简： ${(x + y)}^{2} - x (x + 2 y)$ ．

[性质探究]

如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ， $AE$ 平分 $∠ BAC$ ，交 $BC$ 于点 $E$ ．作 $DF ⊥ AE$ 于点 $H$ ，分别交 $AB$ ， $AC$ 于点 $F$ ， $G$ ．

（1）判断 $ΔAFG$ 的形状并说明理由．

（2）求证： $BF = 2 OG$ ．

[迁移应用]

（3）记 $ΔDGO$ 的面积为 $S_{1}$ ， $ΔDBF$ 的面积为 $S_{2}$ ，当 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{3}$ 时，求 $\frac{AD}{AB}$ 的值．

[拓展延伸]

（4）若 $DF$ 交射线 $AB$ 于点 $F$ ，[性质探究]中的其余条件不变，连结 $EF$ ，当 $ΔBEF$ 的面积为矩形 $ABCD$ 面积的 $\frac{1}{10}$ 时，请直接写出 $\tan ∠ BAE$ 的值．

如图1，在平面直角坐标系中， $ΔABC$ 的顶点 $A$ ， $C$ 分别是直线 $y = - \frac{8}{3} x + 4$ 与坐标轴的交点，点 $B$ 的坐标为 $(- 2, 0)$ ，点 $D$ 是边 $AC$ 上的一点， $DE ⊥ BC$ 于点 $E$ ，点 $F$ 在边 $AB$ 上，且 $D$ ， $F$ 两点关于 $y$ 轴上的某点成中心对称，连结 $DF$ ， $EF$ ．设点 $D$ 的横坐标为 $m$ ， $E F^{2}$ 为 $l$ ，请探究：

①线段 $EF$ 长度是否有最小值．

② $ΔBEF$ 能否成为直角三角形．

小明尝试用“观察 $-$ 猜想 $-$ 验证 $-$ 应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．

（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到 $l$ 随 $m$ 变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图 $2)$ ．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想 $l$ 与 $m$ 可能满足的函数类别．

（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出 $l$ 关于 $m$ 的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段 $EF$ 长度的最小值．

（3）小明通过观察，推理，发现 $ΔBEF$ 能成为直角三角形，请你求出当 $ΔBEF$ 为直角三角形时 $m$ 的值．

2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通．一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为 $20 km / h$ ，游轮行驶的时间记为 $t (h)$ ，两艘轮船距离杭州的路程 $s (km)$ 关于 $t (h)$ 的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．

（1）写出图2中 $C$ 点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．

（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：

①货轮出发后几小时追上游轮？

②游轮与货轮何时相距 $12 km$ ？

（2）①求出 $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 的坐标，利用待定系数法求解即可．

②分三种情形种情形分别构建方程求解即可．

如图， $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $AB = 10$ ， $AC = 6$ ，连结 $OC$ ，弦 $AD$ 分别交 $OC$ ， $BC$ 于点 $E$ ， $F$ ，其中点 $E$ 是 $AD$ 的中点．

（1）求证： $∠ CAD = ∠ CBA$ ．

（2）求 $OE$ 的长．