（本小题满分12分）
已知函数
（1）若函数
在
上为增函数，求正实数
的取值范围；
（2）当
时，求在
上的最大值和最小值；
（3） 当时，求证：对大于1的任意正整数
，都有
。
若
，观察下列不等式：
请你猜测
满足的不等式，并用数学归纳法加以证明.
设函数
.
(Ⅰ)求函数
的单调区间；
(Ⅱ)当
时,是否存在整数
，使不等式
恒成立？若存在，求整数的值；若不存在，请说明理由.
(Ⅲ)关于
的方程
在
上恰有两个相异实根,求实数
的取值范围.
已知椭圆
的离心率为
，短轴的一个端点到右焦点的距离为
，直线
交椭圆于不同的两点
，
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若
，且
，求
的值（
点为坐标原点）；
（Ⅲ）若坐标原点到直线
的距离为
，求
面积的最大值．
如图，在三棱柱
中，每个侧面均为正方形，
为底边
的中点，
为侧棱
的中点.
（Ⅰ）求证：
∥平面
；
（Ⅱ）求证：
平面；
（Ⅲ）求直线
与平面
所成角的正弦值.
若
，观察下列不等式：
请你猜测
满足的不等式，并用数学归纳法加以证明.