（每题6分，共12分）计算：（1）（2）-优题课

图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：

（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．

（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．

（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）

（1）计算： ${(a + 1)}^{2} + a (2 - a)$ ．

（2）解不等式： $3 x - 5 < 2 (2 + 3 x)$ ．

如图，在平面直角坐标系中，正方形 $ABOC$ 的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过 $OB$ ， $OC$ 的中点 $D$ ， $E$ 作 $AE$ ， $AD$ 的平行线，相交于点 $F$ ，已知 $OB = 8$ ．

（1）求证：四边形 $AEFD$ 为菱形．

（2）求四边形 $AEFD$ 的面积．

（3）若点 $P$ 在 $x$ 轴正半轴上（异于点 $D)$ ，点 $Q$ 在 $y$ 轴上，平面内是否存在点 $G$ ，使得以点 $A$ ， $P$ ， $Q$ ， $G$ 为顶点的四边形与四边形 $AEFD$ 相似？若存在，求点 $P$ 的坐标；若不存在，试说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $y = - \frac{1}{2} {(x - m)}^{2} + 4$ 图象的顶点为 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，异于顶点 $A$ 的点 $C (1, n)$ 在该函数图象上．

（1）当 $m = 5$ 时，求 $n$ 的值．

（2）当 $n = 2$ 时，若点 $A$ 在第一象限内，结合图象，求当 $y ⩾ 2$ 时，自变量 $x$ 的取值范围．

（3）作直线 $AC$ 与 $y$ 轴相交于点 $D$ ．当点 $B$ 在 $x$ 轴上方，且在线段 $OD$ 上时，求 $m$ 的取值范围．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = 4 \sqrt{2}$ ， $∠ B = 45 °$ ， $∠ C = 60 °$ ．

（1）求 $BC$ 边上的高线长．

（2）点 $E$ 为线段 $AB$ 的中点，点 $F$ 在边 $AC$ 上，连结 $EF$ ，沿 $EF$ 将 $ΔAEF$ 折叠得到 $ΔPEF$ ．

①如图2，当点 $P$ 落在 $BC$ 上时，求 $∠ AEP$ 的度数．

②如图3，连结 $AP$ ，当 $PF ⊥ AC$ 时，求 $AP$ 的长．