等腰三角形的底边长20cm，面积为cm2，求它的各内角.-优题课

2021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡眠时间应达到9小时．某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取500名进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下．

调查问卷

1．近两周你平均每天睡眠时间大约是______小时．

如果你平均每天睡眠时间不足9小时，请回答第2个问题

2．影响你睡眠时间的主要原因是______（单选）．

$A$ ．校内课业负担重

$B$ ．校外学习任务重

$C$ ．学习效率低

$D$ ．其他

平均每天睡眠时间 $x$ （时 $)$ 分为5组：① $5 ⩽ x < 6$ ；② $6 ⩽ x < 7$ ；③ $7 ⩽ x < 8$ ；④ $8 ⩽ x < 9$ ；⑤ $9 ⩽ x < 10$ ．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第　　（填序号）组，达到9小时的学生人数占被调查人数的百分比为　　；

（2）请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议．

（1）计算： $3^{- 1} - \sqrt{\frac{1}{9}} + {(3 - \sqrt{3})}^{0}$ ；

（2）化简： $(1 - \frac{1}{x}) \div \frac{2 x - 2}{x^{2}}$ ．

在一平面内，线段 $AB = 20$ ，线段 $BC = CD = DA = 10$ ，将这四条线段顺次首尾相接．把 $AB$ 固定，让 $AD$ 绕点 $A$ 从 $AB$ 开始逆时针旋转角 $α (α > 0 °)$ 到某一位置时， $BC$ ， $CD$ 将会跟随出现到相应的位置．

论证：如图1，当 $AD / / BC$ 时，设 $AB$ 与 $CD$ 交于点 $O$ ，求证： $AO = 10$ ；

发现：当旋转角 $α = 60 °$ 时， $∠ ADC$ 的度数可能是多少？

尝试：取线段 $CD$ 的中点 $M$ ，当点 $M$ 与点 $B$ 距离最大时，求点 $M$ 到 $AB$ 的距离；

拓展：①如图2，设点 $D$ 与 $B$ 的距离为 $d$ ，若 $∠ BCD$ 的平分线所在直线交 $AB$ 于点 $P$ ，直接写出 $BP$ 的长（用含 $d$ 的式子表示）；

②当点 $C$ 在 $AB$ 下方，且 $AD$ 与 $CD$ 垂直时，直接写出 $α$ 的余弦值．

如图是某同学正在设计的一动画示意图， $x$ 轴上依次有 $A$ ， $O$ ， $N$ 三个点，且 $AO = 2$ ，在 $ON$ 上方有五个台阶 $T_{1} ~ T_{5}$ （各拐角均为 $90 °)$ ，每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶 $T_{1}$ 到 $x$ 轴距离 $OK = 10$ ．从点 $A$ 处向右上方沿抛物线 $L : y = - x^{2} + 4 x + 12$ 发出一个带光的点 $P$ ．

（1）求点 $A$ 的横坐标，且在图中补画出 $y$ 轴，并直接指出点 $P$ 会落在哪个台阶上；

（2）当点 $P$ 落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与 $L$ 形状相同的抛物线 $C$ ，且最大高度为11，求 $C$ 的解析式，并说明其对称轴是否与台阶 $T_{5}$ 有交点；

（3）在 $x$ 轴上从左到右有两点 $D$ ， $E$ ，且 $DE = 1$ ，从点 $E$ 向上作 $EB ⊥ x$ 轴，且 $BE = 2$ ．在 $ΔBDE$ 沿 $x$ 轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线 $C$ 下落的点 $P$ 能落在边 $BD$ （包括端点）上，则点 $B$ 横坐标的最大值比最小值大多少？

$[$ 注：（2）中不必写 $x$ 的取值范围 $]$

如图， $⊙ O$ 的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为 $A_{n} (n$ 为 $1 ~ 12$ 的整数），过点 $A_{7}$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $A_{1} A_{11}$ 延长线于点 $P$ ．

（1）通过计算比较直径和劣弧 $\hat{A_{7} A_{11}}$ 长度哪个更长；

（2）连接 $A_{7} A_{11}$ ，则 $A_{7} A_{11}$ 和 $P A_{1}$ 有什么特殊位置关系？请简要说明理由；

（3）求切线长 $P A_{7}$ 的值．