如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽BC10米，坝高BECF-优题课

如图1，在平面直角坐标系中，直线 $MN$ 分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于点 $M (6, 0)$ ， $N (0$ ， $2 \sqrt{3})$ ，等边 $ΔABC$ 的顶点 $B$ 与原点 $O$ 重合， $BC$ 边落在 $x$ 轴正半轴上，点 $A$ 恰好落在线段 $MN$ 上，将等边 $ΔABC$ 从图1的位置沿 $x$ 轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，边 $AB$ ， $AC$ 分别与线段 $MN$ 交于点 $E$ ， $F$ （如图2所示），设 $ΔABC$ 平移的时间为 $t (s)$ ．

（1）等边 $ΔABC$ 的边长为　　；

（2）在运动过程中，当 $t =$ 　　时， $MN$ 垂直平分 $AB$ ；

（3）若在 $ΔABC$ 开始平移的同时．点 $P$ 从 $ΔABC$ 的顶点 $B$ 出发．以每秒2个单位长度的速度沿折线 $BA - AC$ 运动．当点 $P$ 运动到 $C$ 时即停止运动． $ΔABC$ 也随之停止平移．

①当点 $P$ 在线段 $BA$ 上运动时，若 $ΔPEF$ 与 $ΔMNO$ 相似．求 $t$ 的值；

②当点 $P$ 在线段 $AC$ 上运动时，设 $S_{ΔPEF} = S$ ，求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式，并求出 $S$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标．

如图， $ΔABC$ 中，以 $BC$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $AB$ 于点 $D$ ， $AE$ 平分 $∠ BAC$ 交 $BC$ 于点 $E$ ，交 $CD$ 于点 $F$ ．且 $CE = CF$ ．

（1）求证：直线 $CA$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BD = \frac{4}{3} DC$ ，求 $\frac{DF}{CF}$ 的值．

如图，在平面直角坐标系中，坐标原点 $O$ 是菱形 $ABCD$ 的对称中心．边 $AB$ 与 $x$ 轴平行，点 $B (1, - 2)$ ，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过 $A$ ， $C$ 两点．

（1）求点 $C$ 的坐标及反比例函数的解析式．

（2）直线 $BC$ 与反比例函数图象的另一交点为 $E$ ，求以 $O$ ， $C$ ， $E$ 为顶点的三角形的面积．

攀枝花芒果由于品质高、口感好而闻名全国，通过优质快捷的网络销售渠道，小明的妈妈先购买了2箱 $A$ 品种芒果和3箱 $B$ 品种芒果，共花费450元；后又购买了1箱 $A$ 品种芒果和2箱 $B$ 品种芒果，共花费275元（每次两种芒果的售价都不变）．

（1）问 $A$ 品种芒果和 $B$ 品种芒果的售价分别是每箱多少元？

（2）现要购买两种芒果共18箱，要求 $B$ 品种芒果的数量不少于 $A$ 品种芒果数量的2倍，但不超过 $A$ 品种芒果数量的4倍，请你设计购买方案，并写出所需费用最低的购买方案．

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中， $AE ⊥ BC$ ， $CF ⊥ AD$ ，垂足分别为 $E$ ， $F$ ， $AE$ ， $CF$ 分别与 $BD$ 交于点 $G$ 和 $H$ ，且 $AB = 2 \sqrt{5}$ ．

（1）若 $\tan ∠ ABE = 2$ ，求 $CF$ 的长；

（2）求证： $BG = DH$ ．