已知半径为的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切-优题课

如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形， $AD = CD$ ．

（1）证明： $AC ⊥ BD$ ；

（2）已知△ACD是直角三角形， $AB = BD$ ．若E为棱BD上与D不重合的点，且 $AE ⊥ EC$ ，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温	$[10 ， 15 ）$	$[15 ， 20 ）$	$[20 ， 25 ）$	$[25 ， 30 ）$	$[30 ， 35 ）$	$[35 ， 40 ）$
天数	2	16	36	25	7	4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 $Y$ （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出 $Y$ 的所有可能值，并估计 $Y$ 大于零的概率．

设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + \dots + (2 n - 1) a_{n} = 2 n$ .

（1）求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

（2）求数列 $\{\frac{a_{n}}{2_{n} + 1}\}$ 的前 $n$ 项和.

在平面直角坐标系xOy中，设点集 $A_{n} = {(0, 0), (1, 0), (2, 0), \dots, (n, 0)}$ ， $B_{n} = {(0, 1), (n, 1)}, C_{n} = {(0, 2), (1, 2), (2, 2), \dots, (n, 2)}, n \in N^{*} .$

令 $M_{n} = A_{n} \cup B_{n} \cup C_{n}$ .从集合 M _n中任取两个不同的点，用随机变量 X表示它们之间的距离.

（1）当 n=1时，求 X的概率分布；

（2）对给定的正整数 n（ n≥3），求概率 P（ X≤ n）（用 n表示）.

设 ${(1 + x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}, n ⩾ 4, n \in N^{*}$ .已知 $a_{3}^{2} = 2 a_{2} a_{4}$ .

（1）求 n的值；

（2）设 ${(1 + \sqrt{3})}^{n} = a + b \sqrt{3}$ ，其中 $a, b \in N^{*}$ ，求 $a^{2} - 3 b^{2}$ 的值.