观察下列各式：，，（1）找出规律，再继续写出下面的两个等式：-优题课

如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的 $12 \times 12$ 网格中，给出了四边形 $ABCD$ 的两条边 $AB$ 与 $BC$ ，且四边形 $ABCD$ 是一个轴对称图形，其对称轴为直线 $AC$ ．

（1）试在图中标出点 $D$ ，并画出该四边形的另两条边；

（2）将四边形 $ABCD$ 向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形 $A' B' C' D'$ ．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中， $⊙ O$ 的半径为1， $A$ ， $B$ 为 $⊙ O$ 外两点， $AB = 1$ ．

给出如下定义：平移线段 $AB$ ，得到 $⊙ O$ 的弦 $A^{'} B^{'} (A^{'}$ ， $B'$ 分别为点 $A$ ， $B$ 的对应点），线段 $A A^{'}$ 长度的最小值称为线段 $AB$ 到 $⊙ O$ 的“平移距离”．

（1）如图，平移线段 $AB$ 得到 $⊙ O$ 的长度为1的弦 $P_{1} P_{2}$ 和 $P_{3} P_{4}$ ，则这两条弦的位置关系是　 $P_{1} P_{2} / / P_{3} P_{4}$ 　；在点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $P_{4}$ 中，连接点 $A$ 与点　　的线段的长度等于线段 $AB$ 到 $⊙ O$ 的“平移距离”；

（2）若点 $A$ ， $B$ 都在直线 $y = \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3}$ 上，记线段 $AB$ 到 $⊙ O$ 的“平移距离”为 $d_{1}$ ，求 $d_{1}$ 的最小值；

（3）若点 $A$ 的坐标为 $(2, \frac{3}{2})$ ，记线段 $AB$ 到 $⊙ O$ 的“平移距离”为 $d_{2}$ ，直接写出 $d_{2}$ 的取值范围．

在 $ΔABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AC > BC$ ， $D$ 是 $AB$ 的中点． $E$ 为直线 $AC$ 上一动点，连接 $DE$ ．过点 $D$ 作 $DF ⊥ DE$ ，交直线 $BC$ 于点 $F$ ，连接 $EF$ ．

（1）如图1，当 $E$ 是线段 $AC$ 的中点时，设 $AE = a$ ， $BF = b$ ，求 $EF$ 的长（用含 $a$ ， $b$ 的式子表示）；

（2）当点 $E$ 在线段 $CA$ 的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段 $AE$ ， $EF$ ， $BF$ 之间的数量关系，并证明．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中， $M (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $N (x_{2}$ ， $y_{2})$ 为抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a > 0)$ 上任意两点，其中 $x_{1} < x_{2}$ ．

（1）若抛物线的对称轴为 $x = 1$ ，当 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为何值时， $y_{1} = y_{2} = c$ ；

（2）设抛物线的对称轴为 $x = t$ ，若对于 $x_{1} + x_{2} > 3$ ，都有 $y_{1} < y_{2}$ ，求 $t$ 的取值范围．

小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下：

$a$ ．小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图：

$b$ ．小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：

时段	1日至10日	11日至20日	21日至30日
平均数	100	170	250

（1）该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为　173　（结果取整数）；

（2）已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的　　倍（结果保留小数点后一位）；

（3）记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为 $s_{1}^{2}$ ，5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为 $s_{2}^{2}$ ，5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为 $s_{3}^{2}$ ．直接写出 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ ， $s_{3}^{2}$ 的大小关系．