已知椭圆C的长轴长为，一个焦点的坐标为(1,0)．（Ⅰ）求椭-优题课

已知椭圆C的长轴长为，一个焦点的坐标为(1,0)．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆的右顶点．
（ⅰ）若直线l斜率k=1，求△ABP的面积；
（ⅱ）若直线AP，BP的斜率分别为，，求证：为定值．

科目数学题型解答题难度较易

已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 1$
（1）证明 $\{a_{n} + \frac{1}{2}\}$ 是等比数列，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）证明： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + . . . . . . + \frac{1}{a_{n}} < \frac{3}{2}$ .

设函数 $f (x) = 2 |x - 1| + x - 1, g (x) = 16 x^{2} - 8 x + 1$ ，记 $f (x) \leq 1$ 的解集为 $M$ ， $g (x) \leq 4$ 的解集为 $N$ .
（1）求 $M$ ；
（2）当 $x \in M \cap N$ 时，证明： $x^{2} f (x) + x {[f (x)]}^{2} \leq \frac{1}{4}$ .

将圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线 $C$ .
（1）写出 $C$ 的参数方程；
（2）设直线 $l : 2 x + y - 2 = 0$ 与 $C$ 的交点为 $P_{1}, P_{2}$ ，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段 $P_{1} P_{2}$ 的中点且与 $l$ 垂直的直线的极坐标方程.

如图， $E P$ 交圆于 $E$ 、 $C$ 两点， $P D$ 切圆于 $D, G$ 为 $C E$ 上一点且 $P G = P D$ ，连接 $D G$ 并延长交圆于点 $A$ ，作弦 $A B$ 垂直 $E P$ ，垂足为 $F$ .
（1）求证： $A B$ 为圆的直径；
（2）若 $A C = B D$ ，求证： $A B = E D$ .

已知函数 $f (x) = (\cos x - x) (π + 2 x) - \frac{8}{3} (\sin x + 1)$ ， $g (x) = 3 x \cos x - 4 (1 + \sin x) \ln (3 - \frac{2 x}{π})$ .证明：

（1）存在唯一 $x_{0} \in (0, \frac{π}{2})$ ，使 $f (x_{0}) = 0$ ；
（2）存在唯一 $x_{1} \in (\frac{π}{2}, π)$ ，使 $g (x_{1}) = 0$ ，且对（1）中的 $x_{0} + x_{1} < π$ .

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