已知:如图,OA是⊙O的半径,以OA为直径的⊙C与⊙O的弦A-优题课

如图，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 的对称轴为直线 $x = 2$ ，抛物线与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且点 $A$ 的坐标为 $(- 1, 0)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）将抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 图象 $x$ 轴下方部分沿 $x$ 轴向上翻折，保留抛物线在 $x$ 轴上的点和 $x$ 轴上方图象，得到的新图象与直线 $y = t$ 恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ ．当以 $EF$ 为直径的圆过点 $Q (2, 1)$ 时，求 $t$ 的值；

（3）在抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 上，当 $m ⩽ x ⩽ n$ 时， $y$ 的取值范围是 $m ⩽ y ⩽ 7$ ，请直接写出 $x$ 的取值范围．

如图， $⊙ O$ 是 $ΔABC$ 的外接圆， $AB$ 是直径， $D$ 是 $AC$ 中点，直线 $OD$ 与 $⊙ O$ 相交于 $E$ ， $F$ 两点， $P$ 是 $⊙ O$ 外一点， $P$ 在直线 $OD$ 上，连接 $PA$ ， $PC$ ， $AF$ ，且满足 $∠ PCA = ∠ ABC$ ．

（1）求证： $PA$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）证明： $E F^{2} = 4 OD \cdot OP$ ；

（3）若 $BC = 8$ ， $\tan ∠ AFP = \frac{2}{3}$ ，求 $DE$ 的长．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ A = 90 °$ ． $AB = 8 cm$ ， $AC = 6 cm$ ，若动点 $D$ 从 $B$ 出发，沿线段 $BA$ 运动到点 $A$ 为止（不考虑 $D$ 与 $B$ ， $A$ 重合的情况），运动速度为 $2 cm / s$ ，过点 $D$ 作 $DE / / BC$ 交 $AC$ 于点 $E$ ，连接 $BE$ ，设动点 $D$ 运动的时间为 $x (s)$ ， $AE$ 的长为 $y (cm)$ ．

（1）求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（2）当 $x$ 为何值时， $ΔBDE$ 的面积 $S$ 有最大值？最大值为多少？

如图，在矩形 $ABCD$ 中， $AB = 3$ ， $BC = 4$ ． $M$ 、 $N$ 在对角线 $AC$ 上，且 $AM = CN$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $AD$ 、 $BC$ 的中点．

（1）求证： $ΔABM ≅ ΔCDN$ ；

（2）点 $G$ 是对角线 $AC$ 上的点， $∠ EGF = 90 °$ ，求 $AG$ 的长．

如图，反比例函数 $y = \frac{2 m}{x}$ 和一次函数 $y = kx - 1$ 的图象相交于 $A (m, 2 m)$ ， $B$ 两点．

（1）求一次函数的表达式；

（2）求出点 $B$ 的坐标，并根据图象直接写出满足不等式 $\frac{2 m}{x} < kx - 1$ 的 $x$ 的取值范围．