已知⊙的半径为1，以为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个-优题课

为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母 $A$ ， $B$ ， $C$ 依次表示这三首歌曲）．比赛时，将 $A$ ， $B$ ， $C$ 这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．

（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是　　；

（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．

在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，点 $A$ 在以 $BC$ 为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．

（1）在图1中作弦 $EF$ ，使 $EF / / BC$ ；

（2）在图2中以 $BC$ 为边作一个 $45 °$ 的圆周角．

（1）计算： $- (- 1) + | - 2 | + {(\sqrt{2019} - 2)}^{0}$ ；

（2）如图，四边形 $ABCD$ 中， $AB = CD$ ， $AD = BC$ ，对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ，且 $OA = OD$ ．求证：四边形 $ABCD$ 是矩形．

我们定义：如图1，在 $ΔABC$ 中，把 $AB$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $α (0 ° < α < 180 °)$ 得到 $A B^{'}$ ，把 $AC$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $β$ 得到 $A C^{'}$ ，连接 $B^{'} C^{'}$ ．当 $α + β = 180 °$ 时，我们称△ $A^{'} B^{'} C^{'}$ 是 $ΔABC$ 的“旋补三角形”，△ $A B^{'} C^{'}$ 边 $B^{'} C^{'}$ 上的中线 $AD$ 叫做 $ΔABC$ 的“旋补中线”，点 $A$ 叫做“旋补中心”．

特例感知：

（1）在图2，图3中，△ $A B^{'} C^{'}$ 是 $ΔABC$ 的“旋补三角形”， $AD$ 是 $ΔABC$ 的“旋补中线”．

①如图2，当 $ΔABC$ 为等边三角形时， $AD$ 与 $BC$ 的数量关系为 $AD =$ 　　 $BC$ ；

②如图3，当 $∠ BAC = 90 °$ ， $BC = 8$ 时，则 $AD$ 长为　　．

猜想论证：

（2）在图1中，当 $ΔABC$ 为任意三角形时，猜想 $AD$ 与 $BC$ 的数量关系，并给予证明．

拓展应用

（3）如图4，在四边形 $ABCD$ ， $∠ C = 90 °$ ， $∠ D = 150 °$ ， $BC = 12$ ， $CD = 2 \sqrt{3}$ ， $DA = 6$ ．在四边形内部是否存在点 $P$ ，使 $ΔPDC$ 是 $ΔPAB$ 的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求 $ΔPAB$ 的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．

已知抛物线 $C_{1} : y = a x^{2} - 4 ax - 5 (a > 0)$ ．

（1）当 $a = 1$ 时，求抛物线与 $x$ 轴的交点坐标及对称轴；

（2）①试说明无论 $a$ 为何值，抛物线 $C_{1}$ 一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；

②将抛物线 $C_{1}$ 沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线 $C_{2}$ ，直接写出 $C_{2}$ 的表达式；

（3）若（2）中抛物线 $C_{2}$ 的顶点到 $x$ 轴的距离为2，求 $a$ 的值．