已知抛物线C1:yax24ax5(a<0)．（1）当a1时，-优题课

已知抛物线 $C_{1} : y = a x^{2} - 4 ax - 5 (a > 0)$ ．

（1）当 $a = 1$ 时，求抛物线与 $x$ 轴的交点坐标及对称轴；

（2）①试说明无论 $a$ 为何值，抛物线 $C_{1}$ 一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；

②将抛物线 $C_{1}$ 沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线 $C_{2}$ ，直接写出 $C_{2}$ 的表达式；

（3）若（2）中抛物线 $C_{2}$ 的顶点到 $x$ 轴的距离为2，求 $a$ 的值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数的性质二次函数图象上点的坐标特征二次函数图象与几何变换待定系数法求二次函数解析式

如图所示， $Rt Δ PAB$ 的直角顶点 $P (3, 4)$ 在函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，顶点 $A$ 、 $B$ 在函数 $y = \frac{t}{x} (x > 0, 0 < t < k)$ 的图象上， $PA / / y$ 轴，连接 $OP$ ， $OA$ ，记 $ΔOPA$ 的面积为 $S_{ΔOPA}$ ， $ΔPAB$ 的面积为 $S_{ΔPAB}$ ，设 $w = S_{ΔOPA} - S_{ΔPAB}$ ．

①求 $k$ 的值以及 $w$ 关于 $t$ 的表达式；

②若用 $w_{\max}$ 和 $w_{\min}$ 分别表示函数 $w$ 的最大值和最小值，令 $T = w_{\max} + a^{2} - a$ ，其中 $a$ 为实数，求 $T_{\min}$ ．

如图示一架水平飞行的无人机 $AB$ 的尾端点 $A$ 测得正前方的桥的左端点 $P$ 的

俯角为 $α$ 其中 $\tan α = 2 \sqrt{3}$ ，无人机的飞行高度 $AH$ 为 $500 \sqrt{3}$ 米，桥的长度为1255米．

①求点 $H$ 到桥左端点 $P$ 的距离；

②若无人机前端点 $B$ 测得正前方的桥的右端点 $Q$ 的俯角为 $30 °$ ，求这架无人机的长度 $AB$ ．

如图示，正方形 $ABCD$ 的顶点 $A$ 在等腰直角三角形 $DEF$ 的斜边 $EF$ 上， $EF$ 与 $BC$ 相交于点 $G$ ，连接 $CF$ ．

①求证： $ΔDAE ≅ ΔDCF$ ；

②求证： $ΔABG ∽ ΔCFG$ ．

某次世界魔方大赛吸引世界各地共600名魔方爱好者参加，本次大赛首轮进行 $3 \times 3$ 阶魔方赛，组委会随机将爱好者平均分到20个区域，每个区域30名同时进行比赛，完成时间小于8秒的爱好者进入下一轮角逐；如图是 $3 \times 3$ 阶魔方赛 $A$ 区域30名爱好者完成时间统计图，求：

① $A$ 区域 $3 \times 3$ 阶魔方爱好者进入下一轮角逐的人数的比例（结果用最简分数表示）．

②若 $3 \times 3$ 阶魔方赛各个区域的情况大体一致，则根据 $A$ 区域的统计结果估计在 $3 \times 3$ 阶魔方赛后进入下一轮角逐的人数．

③若 $3 \times 3$ 阶魔方赛 $A$ 区域爱好者完成时间的平均值为8.8秒，求该项目赛该区域完成时间为8秒的爱好者的概率（结果用最简分数表示）．

如图，抛物线 $y = m x^{2} - 16 mx + 48 m (m > 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $B$ 在点 $A$ 左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接 $OD$ 、 $BD$ 、 $AC$ 、 $AD$ ，延长 $AD$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ．

（1）若 $ΔOAC$ 为等腰直角三角形，求 $m$ 的值；

（2）若对任意 $m > 0$ ， $C$ 、 $E$ 两点总关于原点对称，求点 $D$ 的坐标（用含 $m$ 的式子表示）；

（3）当点 $D$ 运动到某一位置时，恰好使得 $∠ ODB = ∠ OAD$ ，且点 $D$ 为线段 $AE$ 的中点，此时对于该抛物线上任意一点 $P (x_{0}$ ， $y_{0})$ 总有 $n + \frac{1}{6} ⩾ - 4 \sqrt{3} m y_{0}^{2} - 12 \sqrt{3} y_{0} - 50$ 成立，求实数 $n$ 的最小值．