（1）设椭圆
：
与双曲线
：
有相同的焦点
，
是椭圆与双曲线的公共点，且
的周长为
，求椭圆的方程；
我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”.
（2）如图，已知“盾圆
”的方程为
.设“盾圆”上的任意一点到
的距离为
，到直线
的距离为
，求证：
为定值；
（3）由抛物线弧
：
（
）与第（1）小题椭圆弧
：（
）所合成的封闭曲线为“盾圆
”.设过点的直线与“盾圆”交于
两点，
，
且
（
），试用
表示
；并求
的取值范围.
（本小题满分14分）已知圆
：
，点
，
，点
在圆上运动，
的垂直平分线交
于点
．
（Ⅰ）求动点的轨迹
的方程；
（Ⅱ）设
分别是曲线上的两个不同点，且点
在第一象限，点
在第三象限，若
，
为坐标原点，求直线
的斜率
；
（Ⅲ）过点
，
且斜率为的动直线
交曲线于
两点，在
轴上是否存在定点
，使以
为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由．
（本小题满分12分）已知函数
．
（Ⅰ）当
时，求函数
在
，
上的最大值、最小值；
（Ⅱ）令
，若
在
，
上单调递增，求实数
的取值范围．
（本小题满分12分）已知数列
满足
，且
，
为的前
项和．
（Ⅰ）求证：数列
是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）如果对任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
（本小题满分12分）已知
向量
，
，
向量
，
，函数
．
（Ⅰ）求
的最小正周期
；
（Ⅱ）已知
，
，
分别为
内角
，
，
的对边，为锐角，
，
，且
恰是在
，
上的最大值，求，和的面积
．
（本小题满分12分）某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：
| 休假次数 |
 |
 |
 |
 |
| 人数 |
 |
 |
 |
 |
根据上表信息解答以下问题：
（Ⅰ）从该单位任选两名职工，用
表示这两人休年假次数之和，记“函数
在区间
，
上有且只有一个零点”为事件
，求事件发生的概率
；
（Ⅱ）从该单位任选两名职工，用
表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望
．