（文科）（本小题满分12分）某高校从参加今年自主招生考试的学-优题课

题文

（文科）（本小题满分12分）某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：

组号	分组	频数	频率
第一组	[230，235)	8	0.16
第二组	[235，240)	①	0.24
第三组	[240，245)	15	②
第四组	[245，250)	10	0.20
第五组	[250，255]	5	0.10
合计	50	1.00

（1）写出表中①②位置的数据；
（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；
（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．

科目数学题型解答题难度较易

知识点：随机抽样

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在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (0, - 1), B$ 点在直线 $y = - 3$ 上， $M$ 点满足 $\vec{M B} / / \vec{O A}, \vec{M A} \cdot \vec{A B} = \vec{M B} \cdot \vec{B A}$ ， $M$ 点的轨迹为曲线 $C$ .

（1）求 $C$ 的方程；
（2） $P$ 为 $C$ 上的动点， $l$ 为 $C$ 在 $P$ 点处得切线，求 $O$ 点到 $l$ 距离的最小值.

某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为 $A$ 配方和 $B$ 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

$A$ 配方的频数分布表

$B$ 配方的频数分布表

（1）分别估计用 $A$ 配方， $B$ 配方生产的产品的优质品率；
（2）已知用B配方生成的一件产品的利润 $y$ (单位：元)与其质量指标值 $t$ 的关系式为 $y = {\begin{matrix} - 2, t < 94 \\ 2, 94 \leq t < 102 \\ t \geq 102 \end{matrix}$ ,
从用 $B$ 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 $X$ （单位：元），求X的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）

如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $∠ D A B = 60 °$ , $A B = 2 A D$ , $P D ⊥ 底面 A B C D$ .

（1）证明： $P A ⊥ B D$ ；
（2）若 $P D = A D$ ，求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值。

等比数列 ${a_{n_{}}}$ 的各项均为正数，且 $2 a_{1} + 3 a_{2} = 1, {a_{3}}^{2} = 9 a_{2} a_{6}$

（1）求数列 ${a_{n_{}}}$ 的通项公式；
（2）设 $b_{n} = \log_{3} a_{1} + \log_{3} a_{2} + . . . + \log_{3} a_{n}$ 求数列 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和.

设函数 $f (x)$ 定义在 $(0, + \infty)$ 上， $f (1) = 0$ ，导函数 $f ` (x) = \frac{1}{x}$ ， $g (x) = f (x) + f ` (x)$ ．
（1）求 $g (x)$ 的单调区间和最小值；
（2）讨论 $g (x)$ 与 $g (\frac{1}{x})$ 的大小关系；
（3）是否存在 $x_{0} > 0$ ，使得 $|g (x) - g (x_{0})| < \frac{1}{x}$ 对任意 $x > 0$ 成立？若存在，求出 $x_{0}$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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