已知平面内一动点
到点
的距离与点到
轴的距离的差等于1．（I）求动点的轨迹
的方程；（II）过点
作两条斜率存在且互相垂直的直线
，设
与轨迹相交于点
，
与轨迹相交于点
，求
的最小值．
证明：（1）对任一正整
，都存在整数
，使得
成等差数列。
（2）存在无穷多个互不相似的三角形
，其边长
为正整数且
成等差数列。
已知
,
且
.
（Ⅰ）当
时,求
在
处的切线方程；
（Ⅱ）当
时,设
所对应的自变量取值区间的长度为
（闭区间
的长度定义为
）,试求的最大值；
（Ⅲ）是否存在这样的
，使得当
时,?若存在,求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
已知椭圆
的离心率为
，椭圆的左、右两个顶点分别为
，
，直线
与椭圆相交于
两点，经过三点
的圆与经过三点
的圆分别记为圆C1与圆C2．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：无论
如何变化，圆C1与圆C2的圆心距是定值；
（3）当变化时，求圆C1与圆C2的面积的和
的最小值．
已知函数
（1）当
时，求函数
的单调区间；
（2）若函数在区间
上为减函数，求实数
的取值范围
（3）当
时，不等式
恒成立，求实数的取值范围.
等比数列
满足
的前n项和为
，且
（1）求
；
（2）数列
的前n项和，是否存在正整数m，
，使得
成等比数列？若存在，求出所有
的值；若不存在，请说明理由.