如图，已知反比例函数的图像经过第二象限内的点A（

已知抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 过点 $A (1, 0)$ ， $B (3, 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $OC = 3$ ．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$ 的坐标；

（2）过点 $A$ 作 $AM ⊥ BC$ ，垂足为 $M$ ，求证：四边形 $ADBM$ 为正方形；

（3）点 $P$ 为抛物线在直线 $BC$ 下方图形上的一动点，当 $ΔPBC$ 面积最大时，求点 $P$ 的坐标；

（4）若点 $Q$ 为线段 $OC$ 上的一动点，问： $AQ + \frac{1}{2} QC$ 是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．

为了响应市政府号召，某校开展了“六城同创与我同行”活动周，活动周设置了“ $A$ ：文明礼仪， $B$ ：生态环境， $C$ ：交通安全， $D$ ：卫生保洁”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下条形统计图和扇形统计图．

（1）本次随机调查的学生人数是　　人；

（2）请你补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，“ $B$ ”所在扇形的圆心角等于　　度；

（4）小明和小华各自随机参加其中的一个主题活动，请用画树状图或列表的方式求他们恰好选中同一个主题活动的概率．

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径，且 $AB = 4 \sqrt{3}$ ，点 $C$ 是 $\hat{AB}$ 上的一动点（不与 $A$ ， $B$ 重合），过点 $B$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $AC$ 的延长线于点 $D$ ，点 $E$ 是 $BD$ 的中点，连接 $EC$ ．

（1）求证： $EC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）当 $∠ D = 30 °$ 时，求阴影部分面积．

天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道 $A$ 处开始，沿 $A - B - C$ 路线对索道进行检修维护．如图：已知 $AB = 500$ 米， $BC = 800$ 米， $AB$ 与水平线 $A A_{1}$ 的夹角是 $30 °$ ， $BC$ 与水平线 $B B_{1}$ 的夹角是 $60 °$ ．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度 $C A_{1}$ 是多少米？（结果精确到1米，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732)$

阅读下面的材料：

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为 $a_{1}$ ，排在第二位的数称为第二项，记为 $a_{2}$ ，依此类推，排在第 $n$ 位的数称为第 $n$ 项，记为 $a_{n}$ ．所以，数列的一般形式可以写成： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ ， $\dots$ ．

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 $d$ 表示．如：数列1，3，5，7， $\dots$ 为等差数列，其中 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ，公差为 $d = 2$ ．

根据以上材料，解答下列问题：

（1）等差数列5，10，15， $\dots$ 的公差 $d$ 为　　，第5项是　　．

（2）如果一个数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $\dots$ ， $a_{n} \dots$ ，是等差数列，且公差为 $d$ ，那么根据定义可得到： $a_{2} - a_{1} = d$ ， $a_{3} - a_{2} = d$ ， $a_{4} - a_{3} = d$ ， $\dots$ ， $a_{n} - a_{n - 1} = d$ ， $\dots$ ．

所以

$a_{2} = a_{1} + d$

$a_{3} = a_{2} + d = (a_{1} + d) + d = a_{1} + 2 d$ ，

$a_{4} = a_{3} + d = (a_{1} + 2 d) + d = a_{1} + 3 d$ ，

$\dots \dots$

由此，请你填空完成等差数列的通项公式： $a_{n} = a_{1} + ($ 　　 $) d$ ．

（3） $- 4041$ 是不是等差数列 $- 5$ ， $- 7$ ， $- 9 \dots$ 的项？如果是，是第几项？