（本小题满分12分）
已知椭圆
的左右焦点分别为
、
，由4个点
、
、和组成一个高为
，面积为
的等腰梯形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线和椭圆交于
、
两点，求
面积的最大值．
已知椭圆
的离心率为
，直线
过点
，
，且与椭圆
相切于点
.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在过点的直线
与椭圆相交于不同的两点
、
，使得
?若存在，试求出直线的方程；若不存在,请说明理由.
设数列
的前
项和为
.已知
，
，
．
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记
为数列
的前项和，求．
在长方体
中，
，
，
为
中点.（Ⅰ）证明：
；（Ⅱ）求
与平面
所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱
上是否存在一点
，使得∥平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由.
抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.
(Ⅰ)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；
(Ⅱ)若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为
，求的分布列和数学期望.
已知函数
.
（Ⅰ）求
的定义域及最小正周期；
（Ⅱ）求
在区间
上的最值.