解分式方程：（1）（2）-优题课

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ ABC = 30 °, ∠ ADC = 60 °, AD = DC$ .证明: $B D^{2} = A B^{2} + B C^{2}$ .

如图，在 $Rt △ ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ}, CD ⊥ AB$ 于 $D$ ，设 $AC = b, BC = a$ ， $AB = c, CD = h$ .

求证：（1） $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} = \frac{1}{h^{2}}$ ；

（2） $a + b < c + h$ ；

（3）以 $a + b, h, c + h$ 为边的三角形是直角三角形.

张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表.

（1）请你分别观察 $a, b, c$ 与 $n$ 之间的关系，并用含自然数 $n (n > 1)$ 的代数式表示: $a =$ _________， $b =$ _________， $c =$ _________.

（2）猜想：以 $a, b, c$ 为边的三角形是否为直角三角形?并证明你的猜想.

恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷 $(A)$ 和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路 $X$ 同侧， $AB = 50 km, A, B$ 到直线 $X$ 的距离分别为 $10 km$ 和 $40 km$ ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区 $P$ ，向 $A, B$ 两景区运送游客.小民设计了两种方案.图①是方案一的示意图（ $AP$ 与直线 $X$ 垂直，垂足为 $P), P$ 到 $A, B$ 的距离之和 $S_{1} = PA + PB$ ；图②是方案二的示意图（点 $A$ 关于直线 $X$ 的对称点是 $A^{'}$ ，连接 $B A^{'}$ 交直线 $X$ 于点 $P), P$ 到 $A, B$ 的距离之和 $S_{2} = PA + PB$ .

（1）求 $S_{1}, S_{2}$ ，并比较它们的大小；

（2）请你说明 $S_{2} = PA + PB$ 的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路 $y$ 与沪渝高速公路垂直，建立如图③所示的直角坐标系， $B$ 到直线 $y$ 的距离为 $30 km$ ，请你在 $x$ 旁和 $y$ 旁各修建一服务区 $P, Q$ ，使 $P, A, B, Q$ 组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值.

如图， $△ ABC$ 中， $AB = AC = 2, BC$ 边上有 $100$ 个不同点， $P_{1}, P_{2}, P_{3} \dots, P_{100}$ ，记 $m_{i} = A P_{i}^{2} + P_{i} B \cdot P_{i} C (i = 1, 2, \dots, 100)$ ，求 $m_{1} + m_{2} + \dots + m_{100}$ 的值.