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题文

如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截面得,已知FA⊥平面ABC,AB=2,BD=1,AF=2, CE=3,O为AB的中点.

(1)求证:OC⊥DF;
(2)求平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小;
(3)求多面体ABC—FDE的体积V.

科目 数学   题型 解答题   难度 容易
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如图 ,在直角梯形 A B C D 中, A D B C B A D = π 2 A B = B C = 1 A D = 2 A D 的中点, O A C B E 的交点.将 A B E 沿 B E 折起到 A 1 B E 的位置,如图

image.png

(Ⅰ)证明: C D 平面 A 1 O C
(Ⅱ)若平面 A 1 B E 平面 B C D E ,求平面 A 1 B C 与平面 A 1 C D 夹角的余弦值.

ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c .向量 m =(a, 3 b) n =(cosA,sinB) 平行.
(Ⅰ)求 A
(Ⅱ)若 a= 7 ,b=2 ABC 的面积.

平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C x2 a2 + y 2 b2 =1 a > b > 0 的离心率为 3 2 ,且点( 3 1 2 )在椭圆 C 上.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)设椭圆 E x2 4 a2 + y2 4 b2 =1 P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y=kx+m 交椭圆 E A,B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q .
(ⅰ)求 O Q O P 的值;
(ⅱ)求 ABQ 面积的最大值.

设函数 f ( x ) = ( x + a ) ln x , g ( x ) = x 2 e x . 已知曲线 y = f ( x ) 在点 ( 1 , f ( 1 ) ) 处的切线与直线 2 x - y = 0 平行.
(Ⅰ)求 a 的值;
(Ⅱ)是否存在自然数 k ,使得方程 f ( x ) = g ( x ) ( k , k + 1 ) 内存在唯一的根?如果存在,求出 k ;如果不存在,请说明理由;
(Ⅲ)设函数 m ( x ) = m i n { f ( x ) , g ( x ) } m i n { p , q } 表示, p , q 中的较小值),求 m ( x ) 的最大值.

已知数列 a n 是首项为正数的等差数列,数列 1 a n a n + 1 的前 n 项和为 n 2 n + 1 .
(Ⅰ)求数列 a n 的通项公式;
(Ⅱ)设 b n = a n + 1 ·2 a n ,求数列 b n 的前 n 项和 T n .

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