如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DE-优题课

题文

如图所示的几何体是由以等边三角形ABC为底面的棱柱被平面DEF所截面得，已知FA⊥平面ABC，AB＝2，BD＝1，AF＝2， CE＝3，O为AB的中点．

（1）求证：OC⊥DF；
（2）求平面DEF与平面ABC相交所成锐二面角的大小；
（3）求多面体ABC—FDE的体积V．

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如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B A D = \frac{π}{2}$ ， $A B = B C = 1$ ， $A D = 2$ ，是 $A D$ 的中点， $O$ 是 $A C$ 与 $B E$ 的交点．将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折起到 $△ A_{1} B E$ 的位置，如图．

（Ⅰ）证明： $C D ⊥$ 平面 $A_{1} O C$ ；
（Ⅱ）若平面 $A_{1} B E ⊥$ 平面 $B C D E$ ，求平面 $A_{1} B C$ 与平面 $A_{1} C D$ 夹角的余弦值．

$△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．向量 $\overset{⇀}{m} = (a, \sqrt{3} b)$ 与 $\overset{⇀}{n} = (\cos A, \sin B)$ 平行．
（Ⅰ）求 $A$ ；
（Ⅱ）若 $a = \sqrt{7}, b = 2$ 求 $△ A B C$ 的面积．

平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y 2^{}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且点（ $\sqrt{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ）在椭圆 $C$ 上.
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；
（Ⅱ）设椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{4 a^{2}} + \frac{y^{2}}{4 b^{2}} = 1$ ， $P$ 为椭圆 $C$ 上任意一点，过点 $P$ 的直线 $y = k x + m$ 交椭圆 $E$ 于 $A, B$ 两点，射线 $P O$ 交椭圆 $E$ 于点 $Q$ .
（ⅰ）求 $\frac{|O Q|}{|O P|}$ 的值；
（ⅱ）求 $△ A B Q$ 面积的最大值.

设函数 $f (x) = (x + a) \ln x, g (x) = \frac{x^{2}}{e^{x}}$ . 已知曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $2 x - y = 0$ 平行.
（Ⅰ）求 $a$ 的值；
（Ⅱ）是否存在自然数 $k$ ，使得方程 $f (x) = g (x)$ 在 $(k, k + 1)$ 内存在唯一的根？如果存在，求出 $k$ ；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数 $m (x) = m i n {f (x), g (x)}$ （ $m i n {p, q}$ 表示， $p, q$ 中的较小值），求 $m (x)$ 的最大值.

已知数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为正数的等差数列，数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{n}{2 n + 1}$ .
（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 $b_{n} = (a_{n} + 1) \cdot 2^{a_{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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