解不等式：，并求其自然数解.-优题课

（1）阅读理解：

如图①，在 $ΔABC$ 中，若 $AB = 10$ ， $AC = 6$ ，求 $BC$ 边上的中线 $AD$ 的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：延长 $AD$ 到点 $E$ 使 $DE = AD$ ，再连接 $BE$ （或将 $ΔACD$ 绕着点 $D$ 逆时针旋转 $180 °$ 得到 $ΔEBD)$ ，把 $AB$ 、 $AC$ ， $2 AD$ 集中在 $ΔABE$ 中，利用三角形三边的关系即可判断．

中线 $AD$ 的取值范围是　　；

（2）问题解决：

如图②，在 $ΔABC$ 中， $D$ 是 $BC$ 边上的中点， $DE ⊥ DF$ 于点 $D$ ， $DE$ 交 $AB$ 于点 $E$ ， $DF$ 交 $AC$ 于点 $F$ ，连接 $EF$ ，求证： $BE + CF > EF$ ；

（3）问题拓展：

如图③，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ B + ∠ D = 180 °$ ， $CB = CD$ ， $∠ BCD = 140 °$ ，以 $C$ 为顶点作一个 $70 °$ 角，角的两边分别交 $AB$ ， $AD$ 于 $E$ 、 $F$ 两点，连接 $EF$ ，探索线段 $BE$ ， $DF$ ， $EF$ 之间的数量关系，并加以证明．

如图， $⊙ O$ 是 $ΔABC$ 的外接圆， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AB = 8$ ．

（1）利用尺规，作 $∠ CAB$ 的平分线，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，连接 $CD$ ， $OD$ ，若 $AC = CD$ ，求 $∠ B$ 的度数；

（3）在（2）的条件下， $OD$ 交 $BC$ 于点 $E$ ，求由线段 $ED$ ， $BE$ ， $\hat{BD}$ 所围成区域的面积．（其中 $\hat{BD}$ 表示劣弧，结果保留 $π$ 和根号）

如图，在平面直角坐标系中，菱形 $OBCD$ 的边 $OB$ 在 $x$ 轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过菱形对角线的交点 $A$ ，且与边 $BC$ 交于点 $F$ ，点 $A$ 的坐标为 $(4, 2)$ ．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）求点 $F$ 的坐标．

“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚 $B$ 点先乘坐缆车到达观景平台 $DE$ 观景，然后再沿着坡脚为 $29 °$ 的斜坡由 $E$ 点步行到达“蘑菇石” $A$ 点，“蘑菇石” $A$ 点到水平面 $BC$ 的垂直距离为 $1790 m$ ．如图， $DE / / BC$ ， $BD = 1700 m$ ， $∠ DBC = 80 °$ ，求斜坡 $AE$ 的长度．（结果精确到 $0.1 m)$

为加强中小学生安全和禁毒教育，某校组织了“防溺水、交通安全、禁毒”知识竞赛，为奖励在竞赛中表现优异的班级，学校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），购买1个足球和1个篮球共需159元；足球单价是篮球单价的2倍少9元．

（1）求足球和篮球的单价各是多少元？

（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共20个，但要求购买足球和篮球的总费用不超过1550元，学校最多可以购买多少个足球？