已知椭圆
：
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设
，
、
是椭圆上关于
轴对称的任意两个不同的点，连结
交椭圆于另一点
，求直线的斜率的取值范围；
(3)在(2)的条件下，证明直线
与轴相交于定点．
甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：
甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为
，边界忽略不计）即为中奖．
乙商场：从装有
个白球和个红球的盒子中一次性摸出
球（这些球除颜色外
完全相同），如果摸到的是个红球，即为中奖．
试问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？请说明理由．
已知数列
的前
项和为
，且满足
，
，设
，
．
（Ⅰ）求证：数列
是等比数列；
（Ⅱ）若
，，求实数
的最小值；
（Ⅲ）当
时，给出一个新数列
，其中
设这个新数列的前项和为
，若可以写成
（
且
）的形式，则称为“指数型和”．问
中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．
已知椭圆
的中心在原点
，焦点在
轴上，离心率为
，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设
为椭圆的左顶点，过点的直线
与椭圆交于点
，与
轴交于点
，过原点与平行的直线与椭圆交于点
．证明：
．
已知函数
．
（Ⅰ）当
时，求
在区间
上的最小值；
（Ⅱ）求证：存在实数
，有
．
如图，三棱柱
的侧面
是边长为
的正方形，侧面
侧面
，
，
，
是
的中点．
（Ⅰ）求证：
∥平面
；
（Ⅱ）求证：
平面；
（Ⅲ）在线段
上是否存在一点
，使二面角
为
，若存在，求
的长；若不存在，说明理由．