某景区有一个景观奇异的天门洞，D点是洞的入口，游人从入口进洞-优题课

某景区有一个景观奇异的天门洞，D点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB返回山脚下的B处，在同一平面内，若测得斜坡BD的长为100米，坡角∠DBC ＝10°，在B处测得A的仰角∠ABC＝40°，在D处测得A的仰角∠ADF＝85°，过D点作地面BE的垂线，垂足为C．

（1）求∠ADB的度数：
（2）过D点作AB的垂线，垂足为G，求DG的长及索道AB的长．（结果保留根号）

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知抛物线的顶点坐标为 $(2, 0)$ ，且经过点 $(4, 1)$ ，如图，直线 $y = \frac{1}{4} x$ 与抛物线交于 $A$ 、 $B$ 两点，直线 $l$ 为 $y = - 1$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 $l$ 上是否存在一点 $P$ ，使 $PA + B$ 取得最小值？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）知 $F (x_{0}$ ， $y_{0})$ 为平面内一定点， $M (m, n)$ 为抛物线上一动点，且点 $M$ 到直线 $l$ 的距离与点 $M$ 到点 $F$ 的距离总是相等，求定点 $F$ 的坐标．

如图， $AB$ 为圆 $O$ 的直径， $C$ 为圆 $O$ 上一点， $D$ 为 $BC$ 延长线一点，且 $BC = CD$ ， $CE ⊥ AD$ 于点 $E$ ．

（1）求证：直线 $EC$ 为圆 $O$ 的切线；

（2）设 $BE$ 与圆 $O$ 交于点 $F$ ， $AF$ 的延长线与 $CE$ 交于点 $P$ ，已知 $∠ PCF = ∠ CBF$ ， $PC = 5$ ， $PF = 4$ ，求 $\sin ∠ PEF$ 的值．

如图，已知反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象经过点 $(1, 4)$ ，一次函数 $y = - x + b$ 的图象经过反比例函数图象上的点 $Q (- 4, n)$ ．

（1）求反比例函数与一次函数的表达式；

（2）一次函数的图象分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与反比例函数图象的另一个交点为 $P$ 点，连接 $OP$ 、 $OQ$ ，求 $ΔOPQ$ 的面积．

某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱 $AB$ 、 $CD$ 均垂直于地面，点 $E$ 在线段 $BD$ 上，在 $C$ 点测得点 $A$ 的仰角为 $30 °$ ，点 $E$ 的俯角也为 $30 °$ ，测得 $B$ 、 $E$ 间距离为10米，立柱 $AB$ 高30米．求立柱 $CD$ 的高（结果保留根号）

我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手机的订单，为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了 $50 %$ ，结果比原计划提前5个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部．

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