中国航母辽宁舰是中国第一艘航母，辽宁号以4台蒸汽轮机为动力，-优题课

题文

中国航母“辽宁舰”是中国第一艘航母，“辽宁”号以4台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力安全性，科学家对蒸汽轮机进行了170余项技术改进，增加了某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测．假如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为、、.指标甲、乙、丙合格分别记为4分、2分、4分；若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．
(I)求该项技术量化得分不低于8分的概率；
(II)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．

科目数学题型解答题难度较易

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已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = k c^{n} - k$ （其中 $c, k$ 为常数），且 $a_{2} = 4, a_{6} = 8 a_{3}$ （Ⅰ）求 $a_{n}$ ；（Ⅱ）求数列 $\{n a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$

在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $3 \cos (B - C) - 1 = 6 \cos B \cos C$ ，（1）求 $\cos A$ （2）若 $a = 3$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，求 $b, c$

已知 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n + 1} = a_{2} S_{n} + a_{1}$ ，其中 $a_{2} \neq 0$ .

（Ⅰ）求证： ${a_{n}}$ 首项为1的等比数列；
（Ⅱ）若 $a_{2} > - 1$ ，求证： $S_{n} \leq \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$ ，并给指出等号成立的充要条件.

已知椭圆的中心为原点 $O$ ，长轴在 $x$ 轴上，上顶点为 $A$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，线段 $O F_{1}, O F_{2}$ 的中点分别为 $B_{1}, B_{2}$ ，且 $△ A B_{1} B_{2}$ 是面积为4的直角三角形.

（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过 $B_{1}$ 作直线 $l$ 交椭圆于 $P, Q$ , $P B_{2} ⊥ Q B_{2}$ ，求直线 $l$ 的方程

已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 4, A C = B C = 3, D$ 为 $A B$ 的中点.

（Ⅰ）求点 $C$ 到平面 $A_{1} A B B_{1}$ 的距离;

（Ⅱ）若 $A B_{1} ⊥ A_{1} C$ ，求二面角 $A_{1} - C D - C_{1}$ 的平面角的余弦值.

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