如图，在四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中，侧棱 $A{A}_1\perp$底面 $ABCD$, $AB\parallel DC,A{A}_1=1,AB=3k,AD=4k,BC=5k,DC=6k,\left(k>0\right)$

（Ⅰ）求证： $CD\perp$平面 $AD{D}_1{A}_1$.

（Ⅱ）若直线 $A{A}_1$与平面 $A{B}_{1}C$所成角的正弦值为 $\frac{6}{7}$，求 $k$的值.

（Ⅲ）现将与四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为 $f\left(k\right)$，写出 $f\left(k\right)$的解析式。（直接写出答案，不必说明理由）.

科目 数学   题型 解答题   难度 容易