设
是定义在
的可导函数，且不恒为0，记
．若对定义域内的每一个
，总有
，则称为“
阶负函数 ”；若对定义域内的每一个，总有
，则称为“阶不减函数”（
为函数
的导函数）．
（1）若
既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数
的取值范围；
（2）对任给的“2阶不减函数”，如果存在常数
，使得
恒成立，试判断是否为“2阶负函数”？并说明理由．
（本小题满分10分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为
.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
（Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.
某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）. 凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：① 凳子高度为
，② 三根细钢管相交处的节点
与凳面三角形
重心的连线垂直于凳面和地面. （1）若凳面是边长为
的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为
，确定节点分细钢管上下两段的比值；
（2）若凳面是顶角为
的等腰三角形，腰长为
，节点分细钢管上下两段之比为
. 确定三根细钢管的长度.
（本小题满分12分） 甲、乙两人在一场五局三胜制的象棋比赛中，规定甲或乙无论谁先赢满三局就获胜，并且比赛就此结束.现已知甲、乙两人每比赛一局甲取胜的概率是
，乙取胜的概率为
，且每局比赛的胜负是独立的，试求下列问题：
(Ⅰ)比赛以甲3胜1而结束的概率；
(Ⅱ)比赛以乙3胜2而结束的概率；
(Ⅲ)设甲获胜的概率为a，乙获胜的概率为b，求a：b的值.
（本小题满分12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，
AB=
，AF=1，M是线段EF的中点。
(Ⅰ)求证：AM∥平面BDE；
(Ⅱ) 求二面角A－DF－B的大小.
（Ⅲ）试问：在线段AC上是否存在一点P，使得直线PF与AD所成角为60°？
（本小题满分12分）学习小组有6个同学，其中4个同学从来没有参加过数学研究性学习活动，2个同学曾经参加过数学研究性学习活动.
（1）现从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率；
（2）若从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，活动结束后，该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学个数
是一个随机变量，求随机变量的分布列及数学期望
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