先化简，再求代数式的值，其中-优题课

某大型企业为了保护环境，准备购买 $A$ 、 $B$ 两种型号的污水处理设备共8台，用于同时治理不同成分的污水，若购买 $A$ 型2台、 $B$ 型3台需54万，购买 $A$ 型4台、 $B$ 型2台需68万元．

（1）求出 $A$ 型、 $B$ 型污水处理设备的单价；

（2）经核实，一台 $A$ 型设备一个月可处理污水220吨，一台 $B$ 型设备一个月可处理污水190吨，如果该企业每月的污水处理量不低于1565吨，请你为该企业设计一种最省钱的购买方案．

近几年来，国家对购买新能源汽车实行补助政策， 2016 年某省对新能源汽车中的“插电式混合动力汽车”实行每辆 3 万元的补助，小刘对该省 2016 年“纯电动乘用车”和“插电式混合动力车”的销售计划进行了研究，绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．

（1）补全条形统计图；

（2）求出“ $D$ ”所在扇形的圆心角的度数；

（3）为进一步落实该政策，该省计划再补助 4.5 千万元用于推广上述两大类产品，请你预测，该省 16 年计划大约共销售“插电式混合动力汽车”多少辆？

注： $R$ 为纯电动续航行驶里程，图中 $A$ 表示“纯电动乘用车” $(100 km ⩽ R < 150 km)$ ， $B$ 表示“纯电动乘用车” $(150 km ⩽ R < 250 km)$ ， $C$ 表示“纯电动乘用车” $(R ⩾ 250 km)$ ， $D$ 为“插电式混合动力汽车” ．

如图，已知二次函数 $y_{1} = a x^{2} + bx$ 过 $(- 2, 4)$ ， $(- 4, 4)$ 两点．

（1）求二次函数 $y_{1}$ 的解析式；

（2）将 $y_{1}$ 沿 $x$ 轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线 $y_{2}$ ，直线 $y = m (m > 0)$ 交 $y_{2}$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，求线段 $MN$ 的长度（用含 $m$ 的代数式表示）；

（3）在（2）的条件下， $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，如果直线 $y = m$ 与 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 的图象形成的封闭曲线交于 $C$ 、 $D$ 两点 $(C$ 在左侧），直线 $y = - m$ 与 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 的图象形成的封闭曲线交于 $E$ 、 $F$ 两点 $(E$ 在左侧），求证：四边形 $CEFD$ 是平行四边形．

如图1，在 $ΔAPE$ 中， $∠ PAE = 90 °$ ， $PO$ 是 $ΔAPE$ 的角平分线，以 $O$ 为圆心， $OA$ 为半径作圆交 $AE$ 于点 $G$ ．

（1）求证：直线 $PE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）在图2中，设 $PE$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $H$ ，连接 $AH$ ，点 $D$ 是 $⊙ O$ 的劣弧 $\hat{AH}$ 上一点，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $PA$ 于点 $B$ ，交 $PE$ 于点 $C$ ，已知 $ΔPBC$ 的周长为4， $\tan ∠ EAH = \frac{1}{2}$ ，求 $EH$ 的长．

如图，一次函数 $y = kx + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象交于 $A (2, - 1)$ ， $B (\frac{1}{2}$ ， $n)$ 两点，直线 $y = 2$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）求 $ΔABC$ 的面积．