求不等式组的正整数解．-优题课

（1）如图1，将矩形 $ABCD$ 折叠，使 $BC$ 落在对角线 $BD$ 上，折痕为 $BE$ ，点 $C$ 落在点 $C'$ 处，若 $∠ ADB = 46 °$ ，则 $∠ DBE$ 的度数为　　 $°$ ．

（2）小明手中有一张矩形纸片 $ABCD$ ， $AB = 4$ ， $AD = 9$ ．

【画一画】

如图2，点 $E$ 在这张矩形纸片的边 $AD$ 上，将纸片折叠，使 $AB$ 落在 $CE$ 所在直线上，折痕设为 $MN$ （点 $M$ ， $N$ 分别在边 $AD$ ， $BC$ 上），利用直尺和圆规画出折痕 $MN$ （不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；

【算一算】

如图3，点 $F$ 在这张矩形纸片的边 $BC$ 上，将纸片折叠，使 $FB$ 落在射线 $FD$ 上，折痕为 $GF$ ，点 $A$ ， $B$ 分别落在点 $A'$ ， $B'$ 处，若 $AG = \frac{7}{3}$ ，求 $B' D$ 的长；

【验一验】

如图4，点 $K$ 在这张矩形纸片的边 $AD$ 上， $DK = 3$ ，将纸片折叠，使 $AB$ 落在 $CK$ 所在直线上，折痕为 $HI$ ，点 $A$ ， $B$ 分别落在点 $A'$ ， $B'$ 处，小明认为 $B' I$ 所在直线恰好经过点 $D$ ，他的判断是否正确，请说明理由．

如图1，平行四边形 $ABCD$ 中， $AB ⊥ AC$ ， $AB = 6$ ， $AD = 10$ ，点 $P$ 在边 $AD$ 上运动，以 $P$ 为圆心， $PA$ 为半径的 $⊙ P$ 与对角线 $AC$ 交于 $A$ ， $E$ 两点．

（1）如图2，当 $⊙ P$ 与边 $CD$ 相切于点 $F$ 时，求 $AP$ 的长；

（2）不难发现，当 $⊙ P$ 与边 $CD$ 相切时， $⊙ P$ 与平行四边形 $ABCD$ 的边有三个公共点，随着 $AP$ 的变化， $⊙ P$ 与平行四边形 $ABCD$ 的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的 $AP$ 的值的取值范围　　．

如图，一次函数 $y = kx + b (k \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于 $A (- 9, 0)$ ， $B (0, 6)$ 两点，过点 $C (2, 0)$ 作直线 $l$ 与 $BC$ 垂直，点 $E$ 在直线 $l$ 位于 $x$ 轴上方的部分．

（1）求一次函数 $y = kx + b (k \neq 0)$ 的表达式；

（2）若 $ΔACE$ 的面积为11，求点 $E$ 的坐标；

（3）当 $∠ CBE = ∠ ABO$ 时，点 $E$ 的坐标为　 $(11, 3)$ 　．

如图，校园内有两幢高度相同的教学楼 $AB$ ， $CD$ ，大楼的底部 $B$ ， $D$ 在同一平面上，两幢楼之间的距离 $BD$ 长为24米，小明在点 $E (B$ ， $E$ ， $D$ 在一条直线上）处测得教学楼 $AB$ 顶部的仰角为 $45 °$ ，然后沿 $EB$ 方向前进8米到达点 $G$ 处，测得教学楼 $CD$ 顶部的仰角为 $30 °$ ．已知小明的两个观测点 $F$ ， $H$ 距离地面的高度均为1.6米，求教学楼 $AB$ 的高度 $AB$ 长．（精确到0.1米）参考值： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ．

某班50名学生的身高如下（单位： $cm) :$

160 163 152 161 167 154 158 171 156 168

178 151 156 158 165 160 148 155 162 175

158 167 157 153 164 172 153 159 174 155

169 163 158 150 177 155 166 161 159 164

171 154 157 165 152 167 157 162 155 160

（1）小丽用简单随机抽样的方法从这50个数据中抽取一个容量为5的样本：161，155，174，163，152，请你计算小丽所抽取的这个样本的平均数；

（2）小丽将这50个数据按身高相差 $4 cm$ 分组，并制作了如下的表格：

身高	频数	频率
$147.5 ~ 151.5$		0.06
$151.5 ~ 155.5$
$155.5 ~ 159.5$	11	$m$
$159.5 ~ 163.5$		0.18
$163.5 ~ 167.5$	8	0.16
$167.5 ~ 171.5$	4
$171.5 ~ 175.5$	$n$	0.06
$175.5 ~ 179.5$	2
合计	50	1

① $m =$ 　　， $n =$ 　　；

②这50名学生身高的中位数落在哪个身高段内？身高在哪一段的学生数最多？