为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了-优题课

为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案．

人均住房面积（平方米）	单价（万元/平方米）
不超过30（平方米）	0.3
超过30平方米不超过m（平方米）部分（45≤m≤60）	0.5
超过m平方米部分	0.7

根据这个购房方案：
（1）若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；
（2）设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式；
（3）若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60 时，求m的取值范围．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一次函数的最值

如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 与一次函数 $y = - x - (k + 1)$ 的图象在第二象限的交点为 $A$ ，在第四象限的交点为 $C$ ，直线 $AO (O$ 为坐标原点）与函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于另一点 $B$ ．过点 $A$ 作 $y$ 轴的平行线，过点 $B$ 作 $x$ 轴的平行线，两直线相交于点 $E$ ， $ΔAEB$ 的面积为6．

（1）求反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的表达式；

（2）求点 $A$ ， $C$ 的坐标和 $ΔAOC$ 的面积．

期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．

（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？

（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的 $90 %$ ，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．

如图，在矩形 $ABCD$ 中， $O$ 为对角线 $AC$ 的中点，过点 $O$ 作直线分别与矩形的边 $AD$ ， $BC$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，连接 $CM$ ， $AN$ ．

（1）求证：四边形 $ANCM$ 为平行四边形；

（2）若 $AD = 4$ ， $AB = 2$ ，且 $MN ⊥ AC$ ，求 $DM$ 的长．

为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如图的频数直方图，图中的 $a$ ， $b$ 满足关系式 $2 a = 3 b$ ．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．

（1）求问题中的总体和样本容量；

（2）求 $a$ ， $b$ 的值（请写出必要的计算过程）；

（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）

如图， $AB$ ， $CD$ 为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点 $M$ ，从建筑物 $AB$ 的顶点 $A$ 测得 $M$ 点的俯角为 $45 °$ ，从建筑物 $CD$ 的顶点 $C$ 测得 $M$ 点的俯角为 $75 °$ ，测得建筑物 $AB$ 的顶点 $A$ 的俯角为 $30 °$ ．若已知建筑物 $AB$ 的高度为20米，求两建筑物顶点 $A$ 、 $C$ 之间的距离（结果精确到 $1 m$ ，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732)$ ．

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