已知函数，，（1）若，求函数的极值；（2）若函数在上单调递减-优题课

已知函数，，（1）若，求函数的极值；
（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（3）在函数的图象上是否存在不同的两点，使线段的中点的横坐标与直线的斜率之间满足？若存在，求出；若不存在，请说明理由.

科目数学题型解答题难度困难

若 $a > 0, b > 0$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \sqrt{a b}$ .
（Ⅰ）求 $a^{3} + b^{3}$ 的最小值；
（Ⅱ）是否存在 $a, b$ ,使得 $2 a + 3 b = 6$ ？并说明理由.

已知曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ ，直线 $l : {\begin{matrix} x = 2 + t \\ y = 2 - 2 t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）.
（I）写出曲线 $C$ 的参数方程，直线 $l$ 的普通方程；
（II）过曲线 $C$ 上任意一点 $P$ 作与 $l$ 夹角为 $30^{°}$ 的直线，交 $l$ 于点 $A$ ， $|P A|$ 的最大值与最小值．

如图，四边形 $A B C D$ 是圆 $O$ 的内接四边形， $A B$ 的延长线与 $D C$ 的延长线交于点 $E$ ，且 $C B = C E$ .

（Ⅰ）证明： $∠ D = ∠ E$ ；
（Ⅱ）设 $A D$ 不是圆 $O$ 的直径， $A D$ 的中点为 $M$ ，且 $M B = M C$ ，证明： $△ A D E$ 为等边三角形.

设函数 $f (x) = a e^{x} \ln x + \frac{b e^{x - 1}}{x}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $y = e (x - 1) + 2$ .

（I）求 $a, b$ ;

（II）证明： $f (x) > 1$ .

已知点 $A (0, - 2)$ ,椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ； $F$ 是椭圆 $E$ 的右焦点，直线 $A F$ 的斜率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ， $O$ 为坐标原点.
（I）求 $E$ 的方程；
（II)设过点 $A$ 的动直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $P, Q$ 两点.当 $∆ O P Q$ 的面积最大时，求 $l$ 的直线方程.

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