如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BEDF求证：AECF-优题课

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + (2 m + 1) = 0$ 有实数根．

（1）求 $m$ 的取值范围；

（2）如果方程的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $2 x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} ⩾ 20$ ，求 $m$ 的取值范围．

已知 $ΔABN$ 和 $ΔACM$ 位置如图所示， $AB = AC$ ， $AD = AE$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ．

（1）求证： $BD = CE$ ；

（2）求证： $∠ M = ∠ N$ ．

在校园文化艺术节中，九年级一班有1名男生和2名女生获得美术奖，另有2名男生和2名女生获得音乐奖．

（1）从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，求刚好是男生的概率；

（2）分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会，用列表或树状图求刚好是一男生一女生的概率．

如图，以菱形 $ABCD$ 对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系， $A$ 、 $B$ 两点的坐标分别为 $(- 2 \sqrt{5}$ ， $0)$ 、 $(0, - \sqrt{5})$ ，直线 $DE ⊥ DC$ 交 $AC$ 于 $E$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，以每秒2个单位的速度沿着 $A \to D \to C$ 的路线向终点 $C$ 匀速运动，设 $ΔPDE$ 的面积为 $S (S \neq 0)$ ，点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．

（1）求直线 $DE$ 的解析式；

（2）求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $t$ 的取值范围；

（3）当 $t$ 为何值时， $∠ EPD + ∠ DCB = 90 °$ ？并求出此时直线 $BP$ 与直线 $AC$ 所夹锐角的正切值．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0, 3)$ ，且此抛物线的顶点坐标为 $M (- 1, 4)$ ．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设点 $D$ 为已知抛物线对称轴上的任意一点，当 $ΔACD$ 与 $ΔACB$ 面积相等时，求点 $D$ 的坐标；

（3）点 $P$ 在线段 $AM$ 上，当 $PC$ 与 $y$ 轴垂直时，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $E$ ，将 $ΔPCE$ 沿直线 $CE$ 翻折，使点 $P$ 的对应点 $P'$ 与 $P$ 、 $E$ 、 $C$ 处在同一平面内，请求出点 $P'$ 坐标，并判断点 $P'$ 是否在该抛物线上．