如图，已知抛物线yax2bxc（a≠0）的顶点坐标为（4，）-优题课

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + (4 m + 1) = 0$ 有实数根．

（1）求 $m$ 的取值范围；

（2）若该方程的两个实数根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $| x_{1} - x_{2} | = 4$ ，求 $m$ 的值．

若点 $P$ 的坐标为 $(\frac{x - 1}{3}$ ， $2 x - 9)$ ，其中 $x$ 满足不等式组 $\{\begin{matrix} 5 x - 10 ⩾ 2 (x + 1) \\ \frac{1}{2} x - 1 ⩽ 7 - \frac{3}{2} x \end{matrix}$ ，求点 $P$ 所在的象限．

先化简，再求值： $(\frac{3}{x + 2} + x - 2) \div \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x + 2}$ ，其中 $| x | = 2$ ．

计算： ${(2019 - π)}^{0} + | \sqrt{2} - 1 | - 2 \sin 45 ° + {(\frac{1}{3})}^{- 1}$ ．

如图①，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知 $A (- 2, 2)$ ， $B (- 2, 0)$ ， $C (0, 2)$ ， $D (2, 0)$ 四点，动点 $M$ 以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度的速度沿 $B \to C \to D$ 运动 $(M$ 不与点 $B$ 、点 $D$ 重合），设运动时间为 $t$ （秒 $)$ ．

（1）求经过 $A$ 、 $C$ 、 $D$ 三点的抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 在（1）中的抛物线上，当 $M$ 为 $BC$ 的中点时，若 $ΔPAM ≅ ΔPBM$ ，求点 $P$ 的坐标；

（3）当 $M$ 在 $CD$ 上运动时，如图②．过点 $M$ 作 $MF ⊥ x$ 轴，垂足为 $F$ ， $ME ⊥ AB$ ，垂足为 $E$ ．设矩形 $MEBF$ 与 $ΔBCD$ 重叠部分的面积为 $S$ ，求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式，并求出 $S$ 的最大值；

（4）点 $Q$ 为 $x$ 轴上一点，直线 $AQ$ 与直线 $BC$ 交于点 $H$ ，与 $y$ 轴交于点 $K$ ．是否存在点 $Q$ ，使得 $ΔHOK$ 为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有 $Q$ 点的坐标；若不存在，请说明理由．