如图，C是AB的中点，ADBE，CDCE．求证：∠A∠B．-优题课

如图，四边形 $ABCD$ 是矩形， $E$ 是 $BC$ 边上一点，点 $F$ 在 $BC$ 的延长线上，且 $CF = BE$ ．

（1）求证：四边形 $AEFD$ 是平行四边形；

（2）连接 $ED$ ，若 $∠ AED = 90 °$ ， $AB = 4$ ， $BE = 2$ ，求四边形 $AEFD$ 的面积．

2020年2月，贵州省积极响应国家“停课不停学”的号召，推出了“空中黔课”．为了解某中学初三学生每天听空中黔课的时间，随机调查了该校部分初三学生．根据调查结果，绘制出了如图统计图表（不完整），请根据相关信息，解答下列问题：

部分初三学生每天听空中黔课时间的人数统计表

时间 $/ h$	1.5	2	2.5	3	3.5	4
人数 $/$ 人	2	6	6	10	$m$	4

（1）本次共调查的学生人数为　　，在表格中， $m =$ 　　；

（2）统计的这组数据中，每天听空中黔课时间的中位数是　　，众数是　　；

（3）请就疫情期间如何学习的问题写出一条你的看法．

如图，在 $4 \times 4$ 的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．

（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；

（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；

（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．

如图1，抛物线 $y = - \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} + 6$ 与抛物线 $y_{1} = - x^{2} + \frac{1}{2} tx + t - 2$ 相交 $y$ 轴于点 $C$ ，抛物线 $y_{1}$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $B$ 在点 $A$ 的右侧），直线 $y_{2} = kx + 3$ 交 $x$ 轴负半轴于点 $N$ ，交 $y$ 轴于点 $M$ ，且 $OC = ON$ ．

（1）求抛物线 $y_{1}$ 的解析式与 $k$ 的值；

（2）抛物线 $y_{1}$ 的对称轴交 $x$ 轴于点 $D$ ，连接 $AC$ ，在 $x$ 轴上方的对称轴上找一点 $E$ ，使以点 $A$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的三角形与 $ΔAOC$ 相似，求出 $DE$ 的长；

（3）如图2，过抛物线 $y_{1}$ 上的动点 $G$ 作 $GH ⊥ x$ 轴于点 $H$ ，交直线 $y_{2} = kx + 3$ 于点 $Q$ ，若点 $Q^{'}$ 是点 $Q$ 关于直线 $MG$ 的对称点，是否存在点 $G$ （不与点 $C$ 重合），使点 $Q^{'}$ 落在 $y$ 轴上？若存在，请直接写出点 $G$ 的横坐标，若不存在，请说明理由．

如图，在正方形 $ABCD$ 中， $AB = 4$ ，点 $G$ 在边 $BC$ 上，连接 $AG$ ，作 $DE ⊥ AG$ 于点 $E$ ， $BF ⊥ AG$ 于点 $F$ ，连接 $BE$ 、 $DF$ ，设 $∠ EDF = α$ ， $∠ EBF = β$ ， $\frac{BG}{BC} = k$ ．

（1）求证： $AE = BF$ ；

（2）求证： $\tan α = k \cdot \tan β$ ；

（3）若点 $G$ 从点 $B$ 沿 $BC$ 边运动至点 $C$ 停止，求点 $E$ ， $F$ 所经过的路径与边 $AB$ 围成的图形的面积．