我们知道，矩形是特殊的平行四边形，所以矩形除了具备平行四边形-优题课

我们知道，矩形是特殊的平行四边形，所以矩形除了具备平行四边形的一切性质还有其特殊的性质；同样，黄金矩形是特殊的矩形，因此黄金矩形有与一般矩形不一样的知识．
已知平行四边形ABCD，∠A=60°，AB=2a，AD=a．

（1）把所给的平行四边形ABCD用两种方式分割并作说明(见题答卡表格里的示例)；
要求：用直线段分割，分割成的图形是学习过的特殊图形且不超出四个．
（2）图中关于边、角和对角线会有若干关系或问题．现在请计算两条对角线的长度．
要求：计算对角线BD长的过程中要有必要的论证；直接写出对角线AC的长．
解：在表格中作答

分割图形	分割或图形说明
示例	示例①分割成两个菱形。 ②两个菱形的边长都为a,锐角都为60°。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆内接四边形的性质

已知直线 $l_{1} : y = - 2 x + 10$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，交 $x$ 轴于点 $B$ ，二次函数的图象过 $A$ ， $B$ 两点，交 $x$ 轴于另一点 $C$ ， $BC = 4$ ，且对于该二次函数图象上的任意两点 $P_{1} (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $P_{2} (x_{2}$ ， $y_{2})$ ，当 $x_{1} > x_{2} ⩾ 5$ 时，总有 $y_{1} > y_{2}$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若直线 $l_{2} : y = mx + n (n \neq 10)$ ，求证：当 $m = - 2$ 时， $l_{2} / / l_{1}$ ；

（3） $E$ 为线段 $BC$ 上不与端点重合的点，直线 $l_{3} : y = - 2 x + q$ 过点 $C$ 且交直线 $AE$ 于点 $F$ ，求 $ΔABE$ 与 $ΔCEF$ 面积之和的最小值．

如图， $ΔADE$ 由 $ΔABC$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $90 °$ 得到，且点 $B$ 的对应点 $D$ 恰好落在 $BC$ 的延长线上， $AD$ ， $EC$ 相交于点 $P$ ．

（1）求 $∠ BDE$ 的度数；

（2） $F$ 是 $EC$ 延长线上的点，且 $∠ CDF = ∠ DAC$ ．

①判断 $DF$ 和 $PF$ 的数量关系，并证明；

②求证： $\frac{EP}{PF} = \frac{PC}{CF}$ ．

如图， $C$ 为线段 $AB$ 外一点．

（1）求作四边形 $ABCD$ ，使得 $CD / / AB$ ，且 $CD = 2 AB$ ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的四边形 $ABCD$ 中， $AC$ ， $BD$ 相交于点 $P$ ， $AB$ ， $CD$ 的中点分别为 $M$ ， $N$ ，求证： $M$ ， $P$ ， $N$ 三点在同一条直线上．

为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫．现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如图1所示的条形图．

（1）如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；

（2）估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；

（3）2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如图2的折线图所示．为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目．据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年6月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加170元．

已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在今年实现全面脱贫．

如图， $AB$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $B$ ， $AO$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ， $AO$ 的延长线交 $⊙ O$ 于点 $D$ ， $E$ 是 $\hat{BCD}$ 上不与 $B$ ， $D$ 重合的点， $\sin A = \frac{1}{2}$ ．

（1）求 $∠ BED$ 的大小；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为3，点 $F$ 在 $AB$ 的延长线上，且 $BF = 3 \sqrt{3}$ ，求证： $DF$ 与 $⊙ O$ 相切．