有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，-优题课

题文

有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定.大桥上的车距与车速和车长的关系满足：（为正的常数），假定车身长为，当车速为时，车距为2.66个车身长.
写出车距关于车速的函数关系式;
应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？

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设 $a$ 为实数,函数 $f (x) = {(x + a)}^{2} + |x - a| - a (a - 1)$ ．
（1）若 $f (0) \leq 1$ ,求 $a$ 的取值范围；
（2）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（3）当 $a \geq 2$ 时,讨论 $f (x) + \frac{4}{x}$ 在区间 $(0, + \infty)$ 内的零点个数．

已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ 相交于不同的两点 $A, B$ ．
（1）求圆 $C_{1}$ 的圆心坐标；
（2）求线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；
（3）是否存在实数 $k$ ，使得直线 $l : y = k (x - 4)$ 与曲线 $C$ 只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $n \in N^{+}$ ．已知 $a_{1} = 1, a_{2} = \frac{3}{2}, a_{3} = \frac{5}{4}$ ，且当 $n \geq 2$ 时， $4 S_{n - 2} + 5 S_{n} = 8 S_{n + 1} + S_{n - 1}$ ．
（1）求 $a_{4}$ 的值；
（2）证明： $\{a_{n + 1} - \frac{1}{2} a_{n}\}$ 为等比数列；
（3）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式．

如图，三角形 $P D C$ 所在的平面与长方形 $A B C D$ 所在的平面垂直， $P D = P C = 4$ ， $A B = 6$ ， $B C = 3$ ．

（1）证明： $B C / /$ 平面 $P D A$ ；
（2）证明： $B C ⊥ P D$ ；
（3）求点 $C$ 到平面 $P D A$ 的距离．

某城市 $100$ 户居民的月平均用电量（单位：度），以 $[160, 180)$ ， $[180, 200)$ ， $[200, 220)$ ， $[220, 240)$ ， $[240, 260)$ ， $[260, 280)$ ， $[280, 300]$ 分组的频率分布直方图如图．

（1）求直方图中 $x$ 的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为 $[220, 240)$ ， $[240, 260)$ ， $[260, 280)$ ， $[280, 300]$ 的四组用户中，用分层抽样的
方法抽取户居民，则月平均用电量在 $[220, 240)$ 的用户中应抽取多少户？

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