直角三角形
的直角顶点
为动点，
，
为两个定点，作
于
，动点
满足
，当点运动时，设点的轨迹为曲线
，曲线与
轴正半轴的交点为
．
(Ⅰ) 求曲线的方程；
(Ⅱ) 是否存在方向向量为m
的直线
，与曲线交于
，
两点，且
与
的夹角为
？若存在，求出所有满足条件的直线方程；若不存在，说明理由．
过直角坐标平面
中的抛物线
的焦点
作一条倾斜角为
的直线与抛物线相交于A，B两点。
（1）用
表示A，B之间的距离；
（2）证明：
的大小是与无关的定值，并求出这个值。
在一个圆形波浪实验水池的中心有三个振动源，假如不计其它因素，在t秒内，它们引发的水面波动可分别由函数
和
描述。如果两个振动源同时启动，则水面波动由两个函数的和表达。在某一时刻使这三个振动源同时开始工作，那么，原本平静的水面将呈现怎样的状态，请说明理由
设
，试求下述方程有解时k的取值范围。
设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
.
（Ⅰ）求
的解析式：
（Ⅱ）证明：函数
的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；
（Ⅲ）证明：曲线
上任一点的切线与直线
和直线
所围三角形的面积为定值，并求出此定值.
均为正实数，并且
，求证：