设函数（1）求的单调区间、最大值；（2）讨论关于的方程的根的-优题课

题文

设函数
（1）求的单调区间、最大值；
（2）讨论关于的方程的根的个数．

科目数学题型解答题难度较难

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若 $n$ 是一个三位正整数，且 $n$ 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称 $n$ 为"三位递增数"（如137,359,567等）.在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的"三位递增数"中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的"三位递增数"的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.
（Ⅰ）写出所有个位数字是5的"三位递增数" ；
（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分 $X$ 的分布列和数学期望 $E X$ .

设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .已知 $2 S_{n} = 3^{n} + 3$ .
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{n} b_{n} = \log_{3} a_{n}$ ，求 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

如图，在三棱台 $D E F - A B C$ 中， $A B = 2 D E, G, H$ 分别为 $A C, B C$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $B D / /$ 平面 $F G H$ ；
（Ⅱ）若 $C F ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C, C F = D E$ , $∠ B A C = 45^{°}$ ,求平面 $F G H$ 与平面 $A C F D$ 所成的角（锐角）的大小.

设 $f (x) = \sin x \cos x - \cos^{2} (x + \frac{π}{4})$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间；
（Ⅱ）在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ,若 $f (\frac{A}{2}) = 0, a = 1$ ,求 $△ A B C$ 面积的最大值.

函数 $f (x) = a e^{2} \cos x, (x \in [0, + \infty])$ ，记 $x_{n}$ 为 $f (x)$ 的从小到大的第 $n (n \in N^{*})$ 个极值点。
（Ⅰ）证明：数列 ${f (x_{n})}$ 是等比数列；
（Ⅱ）若对一切 $n \in N^{*}, x_{n} \leq |f (x_{n})|$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围。

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