已知：如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝-优题课

已知：如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．

(1)求证：AB＝DC.(2)试判断△OEF的形状，并说明理由．

科目数学题型解答题难度较易

知识点：三角形的五心

2019年5月，以“寻根国学，传承文明”为主题的兰州市第三届“国学少年强 $- -$ 国学知识挑战赛”总决赛拉开序幕．小明晋级了总决赛，比赛过程分两个环节，参赛选手须在每个环节中各选一道题目．

第一环节：写字注音、成语故事、国学常识、成语接龙（分别用 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $A_{4}$ 表示）；

第二环节：成语听写、诗词对句、经典诵读（分别用 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ 表示）．

（1）请用树状图或列表的方法表示小明参加总决赛抽取题目的所有可能结果；

（2）求小明参加总决赛抽取题目都是成语题目（成语故事、成语接龙、成语听写）的概率．

如图， $AB = DE$ ， $BF = EC$ ， $∠ B = ∠ E$ ，求证： $AC / / DF$ ．

已知：抛物线 $y = a x^{2} + 4 ax + m (a > 0)$ 与 $x$ 轴的一个交点为 $A (- 1, 0)$

（1）求抛物线与 $x$ 轴的另一个交点 $B$ 的坐标；

（2）点 $D$ 是抛物线与 $y$ 轴的交点，点 $C$ 是抛物线上的一个点，且以 $AB$ 为一底的梯形 $ABCD$ 的面积为9，求此抛物线的解析式；

（3）点 $E$ 是第二象限内到 $x$ 轴、 $y$ 轴的距离比为 $5 : 2$ 的点，如果点 $E$ 在（2）中的抛物线上且点 $E$ 与点 $A$ 在此抛物线对称轴的同侧．问：在抛物线的对称轴上是否存在点 $P$ ，使 $ΔAPE$ 的周长最小？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图所示，在正方形 $ABCD$ 和 $ΔEFG$ 中， $AB = EF = EG = 5 cm$ ， $FG = 8 cm$ ，点 $B$ 、 $C$ 、 $F$ 、 $G$ 在同一直线 $l$ 上．当点 $C$ 、 $F$ 重合时， $ΔEFG$ 以 $1 cm / s$ 的速度沿直线 $l$ 向左开始运动， $t$ 秒后正方形 $ABCD$ 与 $ΔEFG$ 重合部分的面积为 $Sc m^{2}$ ．请解答下列问题：

（1）当 $t = 3$ 秒时，求 $S$ 的值；

（2）当 $t = 5$ 秒时，求 $S$ 的值；

（3）当5秒 $< t ⩽ 8$ 秒时，求 $S$ 与 $t$ 的函数关系式，并求出 $S$ 的最大值．

麦积山石窟是世界文化遗产，国家 $AAAAA$ 级旅游景区，中国四大石窟之一．在2018年中国西北旅游营销大会暨旅游装备展上，商家按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．

（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？

（2）若每件工艺品按此进价进货、标价销售，商家每天可售出该工艺品100件；若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问：每件工艺品降价多少元销售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？

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