如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形-优题课

如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为（4，-1）．

（1）画出△ABC以y轴为对称轴的对称图形△A₁B₁C₁，并写出点C₁的坐标；
（2）以原点O为对称中心，画出△A₁B₁C₁关于原点O对称的△A₂B₂C₂，并写出点C₂的坐标；
（3）以A₂为旋转中心，把△A₂B₂C₂顺时针旋转90°，得到△A₂B₃C₃，并写出点C₃的坐标．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：对称式和轮换对称式

如图，已知 $AB$ 、 $CD$ 为 $⊙ O$ 的两条直径， $DF$ 为切线，过 $AO$ 上一点 $N$ 作 $NM ⊥ DF$ 于 $M$ ，连接 $DN$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，连接 $CE$ ．

（1）求证： $ΔDMN ∽ ΔCED$ ．

（2）设 $G$ 为点 $E$ 关于 $AB$ 对称点，连接 $GD$ 、 $GN$ ，如果 $∠ DNO = 45 °$ ， $⊙ O$ 的半径为3，求 $D N^{2} + G N^{2}$ 的值．

如图，函数 $y = \{\begin{matrix} 2 x, (0 ⩽ x ⩽ 3) \\ - x + 9, (x > 3) \end{matrix}$ 的图象与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x > 0)$ 相交于点 $A (3, m)$ 和点 $B$ ．

（1）求双曲线的解析式及点 $B$ 的坐标；

（2）若点 $P$ 在 $y$ 轴上，连接 $PA$ ， $PB$ ，求当 $PA + PB$ 的值最小时点 $P$ 的坐标．

为了吸引游客，某景区通过加强对服务人员的培训、增建索道和开发新景点等措施，对景区品质进行提档升级，升级后游客人数平均每月是升级前的1.1倍还多3000人，且在 $t$ 个月时间内，升级前只能达36万游客，而升级后可达43.2万游客．

（1）问升级前和升级后平均每月各有多少万游客？

（2）现在景区内去极险峰的索道票价为80元 $/$ 张，为了确保景区索道运营有利润，又要保障游客安全，需使每天卖出的索道票总金额超过2万元而票数不超过1000张，问景区每天卖出的索道票数的范围．

为了解学生的课外阅读情况，某市教育局在某校学生中随机抽取了100名学生进行调研，获得了他们一周的课外阅读时间的相关数据，通过整理得到如下的频数分布直方图．

（1）已知阅读时间在 $8 ⩽ x < 10$ 之间的学生的频率为0.4，求 $a$ 、 $b$ 的值．

（2）在样本数据中，从阅读时间在 $0 ⩽ x < 2$ 之间与在 $4 ⩽ x < 6$ 之间的两个时间段内的学生中随机选取2名学生，请用列举法求出任选的2人中恰有1人一周阅读时间在 $0 ⩽ x < 2$ 之间的概率．

（3）该校规定一周课外阅读时间在10小时及以上的学生，可申请“博闻阅读”项目的资助，如果该校共有学生3000名，用样本估计该校可申请“博闻阅读”项目资助的学生人数．

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是 $AB$ 、 $BC$ 的中点， $CE ⊥ AB$ ，垂足为 $E$ ， $AF ⊥ BC$ ，垂足为 $F$ ， $AF$ 与 $CE$ 相交于点 $G$ ．

（1）证明： $ΔCFG ≅ ΔAEG$ ．

（2）若 $AB = 4$ ，求四边形 $AGCD$ 的对角线 $GD$ 的长．

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