已知向量，，函数的图象与直线的相邻两个交点之间的距离为．（Ⅰ-优题课

题文

已知向量，，函数的图象与直线的相邻两个交点之间的距离为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在上的单调递增区间．

科目数学题型解答题难度中等

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设平面向量 $a_{m} = (m, 1), b_{n} = (2, n)$ ，其中 $m, n \in \{1, 2, 3, 4\}$ .
（I）请列出有序数组 $(m, n)$ 的所有可能结果；
（II）记"使得 $a_{m} ⊥ (a_{m} - b_{n})$ 成立的 $(m, n)$ "为事件 $A$ ，求事件 $A$ 发生的概率.

数列 $\{a_{n}\}$ 中, $a_{1} = \frac{1}{3}$ ，前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n + 1} - S_{n} = {(\frac{1}{3})}^{n + 1} (n \in N^{*})$ .

(I)求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$ 以及前 $n$ 项和 $S_{n}$ .
(II)若 $S_{1}, t (S_{1} + S_{2}), 3 (S_{2} + S_{3})$ 成等差数列，求实数 $t$ 的值.

在数列 $\{a_{n}\}$ 中, $a_{1} = 0$ ,且对任意 $k \in N^{*}, a_{2 k - 1}, a_{2 k}, a_{2 k + 1}$ 成等差数列，其公差为 $2 k$ .
（Ⅰ）证明 $a_{4}, a_{5}, a_{6}$ 成等比数列；
（Ⅱ）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅲ）记 $T_{n} = \frac{2^{2}}{a_{2}} + \frac{3^{2}}{a_{3}} + \dots + \frac{n^{2}}{a_{n}}$ ，证明 $\frac{3}{2} < 2 n - T_{n} \leq 2 (n \geq 2)$ .

已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线 $l$ 与椭圆相交于不同的两点 $A$ 、 $B$ ，已知点 $A$ 的坐标为 $(- a, 0)$ .
（i）若 $|A B| = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ，求直线 $l$ 的倾斜角；
（ii）若点 $Q (0, y_{0})$ 在线段 $A B$ 的垂直平分线上，且 $\overset{⇀}{Q A} = \overset{⇀}{Q B} = 4$ .求 $y_{0}$ 的值.

已知函数 $f (x) = a x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 1 (x \in R)$ ，其中 $a > 0$

（Ⅰ）若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 上， $f (x) > 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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