已知曲线，求曲线过点的切线方程。-优题课

为了比较注射 $A, B$ 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做实验，将这200只家兔随即地分成两组。每组100只，其中一组注射药物 $A$ ，另一组注射药物 $B$ .下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的实验结果。（疱疹面积单位： $m m^{2}$ ）
表1：注射药物 $A$ 后皮肤疱疹面积的频数分布表

表2：注射药物 $B$ 后皮肤疱疹面积的频数分布表

（Ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；

（Ⅱ）完成下面 $2 \times 2$ 列联表，并回答能否有99.9％的把握认为"注射药物 $A$ 后的疱疹面积与注射药物 $B$ 后的疱疹面积有差异".
表3：

在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 的对边，且 $2 a \sin A = (2 b + c) \sin B + (2 c + b) \sin C$ .
（Ⅰ）求 $A$ 的大小；
（Ⅱ）若 $\sin B + \sin C = 1$ ，是判断 $△ A B C$ 的形状.

如图，棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 是菱形， $B_{1} C ⊥ A_{1} B$ .
（Ⅰ）证明：平面 $A_{1} B_{1} C$ $⊥$ 平面 $A_{1} B_{} C_{1}$ ；
（Ⅱ）设 $D$ 是 $A_{1} C_{1}$ 上的点，且 $A B_{1} / /$ 平面 $B_{1} C D$ ，求 $A_{1} D \cdot D C_{1}$

已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 均为正数，证明： $a^{2} + b^{2} + c^{2} + {(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})}^{2} \geq 6 \sqrt{3}$ ，并确定 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为何值时，等号成立。

已知函数 $f (x) = (a + 1) \ln x + a x^{2} + 1$ .
（Ⅰ）讨论函数 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）设 $a \leq - 2$ ，证明：对任意 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ， $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \geq 4 |x_{1} - x_{2}|$ 。