某幼儿园在“六·一儿童节”开展了一次亲子活动,此次活动由宝宝和父母之一(后面以家长代称)共同完成,幼儿园提供了两种游戏方案:
方案一 宝宝和家长同时各抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别是1,2,3,4,5,6),宝宝所得点数记为,家长所得点数记为
;
方案二 宝宝和家长同时按下自己手中一个计算器的按钮(此计算器只能产生区间[1,6]的随机实数),宝宝的计算器产生的随机实数记为,家长的计算器产生的随机实数记为
.
(Ⅰ)在方案一中,若,则奖励宝宝一朵小红花,求抛掷一次后宝宝得到一朵小红花的概率;
(Ⅱ)在方案二中,若,则奖励宝宝一本兴趣读物,求按下一次按钮后宝宝得到一本兴趣读物的概率.
(本小题满分14分)已知椭圆的两个焦点分别为
,
,点
在椭圆
上.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)在椭圆落在第一象限的图象上任取一点作
的切线
,求
与坐标轴围成的三角形的面积的最小
值;
(Ⅲ)设椭圆的左、右顶点分别为
,
,过椭圆
上的一点
作
轴的垂线交
轴于点
,若
点
满足,
,连结
交
于点
,求证:
.
(本小题满分14分)已知数列的前
项和为
,且
,
,
成等差数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,数列
的前
项和为
,求证:
.
(本小题满分14分)如图,将一副三角板拼接,使他们有公共边,且使平面
平面
,
,
,
,
,
,
是
的中点.
(Ⅰ)证明:平面
;
(Ⅱ)证明:平面
;
(Ⅲ)求四棱锥的体积.
(本小题满分12分)从广东省某市高三第一次模拟考试成绩中,随机抽取了名学生的数学成绩得到频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)根据频率分布直方图,估计该市高三学生本次模拟考试数学成绩的平均分;
(Ⅱ)若用分层抽样的方法从分数在和
的学生中共抽取
人,在这抽取的
人中,随机抽取
人,求分数在
和
各
人的概率.
(本小题满分14分)已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)设函数,若对于任意
,总存在
,使得
,求实数
的取值范围.