甲乙两物体分别从相距70米的两处同时运动，甲第一分钟走2米，-优题课

题文

甲乙两物体分别从相距70米的两处同时运动，甲第一分钟走2米，以后每分钟比前一分钟多走1米，乙每分钟走5米。
（1）.甲乙开始运动后几分钟相遇？
（2）如果.甲乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1米，乙继续每分钟走5米，那么开始运动几分钟后第二次相遇。

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如图， $D, E$ 分别为 $△ A B C$ 的边 $A B, A C$ 上的点，且不与 $△ A B C$ 的顶点重合。已知 $A E$ 的长为 $m$ ， $A C$ 的长为 $n$ , $A D, A B$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 14 x + m n = 0$ 的两个根。

（1）证明： $C, B, D, E$ 四点共圆；
（2）若 $∠ A = 90 °$ ，且 $m = 4, n = 6$ ，求 $C, B, D, E$ 所在圆的半径。

已知函数 $f (x) = \frac{a \ln x}{x + 1} + \frac{b}{x}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $x + 2 y - 3 = 0$ 。
（1）求 $a$ 、 $b$ 的值；
（2）如果当 $x > 0$ ，且 $x \neq 1$ 时， $f (x) > \frac{\ln x}{x - 1} + \frac{k}{x}$ ，求 $k$ 的取值范围。

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A (0, - 1), B$ 点在直线 $y = - 3$ 上， $M$ 点满足 $\vec{M B} / / \vec{O A}, \vec{M A} \cdot \vec{A B} = \vec{M B} \cdot \vec{B A}$ ， $M$ 点的轨迹为曲线 $C$ .

（1）求 $C$ 的方程；
（2） $P$ 为 $C$ 上的动点， $l$ 为 $C$ 在 $P$ 点处得切线，求 $O$ 点到 $l$ 距离的最小值.

某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为 $A$ 配方和 $B$ 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

$A$ 配方的频数分布表

$B$ 配方的频数分布表

（1）分别估计用 $A$ 配方， $B$ 配方生产的产品的优质品率；
（2）已知用B配方生成的一件产品的利润 $y$ (单位：元)与其质量指标值 $t$ 的关系式为 $y = {\begin{matrix} - 2, t < 94 \\ 2, 94 \leq t < 102 \\ t \geq 102 \end{matrix}$ ,
从用 $B$ 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 $X$ （单位：元），求X的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）

如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $∠ D A B = 60 °$ , $A B = 2 A D$ , $P D ⊥ 底面 A B C D$ .

（1）证明： $P A ⊥ B D$ ；
（2）若 $P D = A D$ ，求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值。

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