如图，已知点E在△ABC的边AB上，以AE为直径的⊙O与BC-优题课

如图，已知点E在△ABC的边AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于点D，且AD平分∠BAC .
求证：AC⊥BC .

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆幂定理

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $⊙ O$ 是 $ΔABC$ 的外接圆， $AE$ 是直径，交 $BC$ 于点 $H$ ，点 $D$ 在 $\hat{AC}$ 上，连接 $AD$ ， $CD$ 过点 $E$ 作 $EF / / BC$ 交 $AD$ 的延长线于点 $F$ ，延长 $BC$ 交 $AF$ 于点 $G$ ．

（1）求证： $EF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BC = 2$ ， $AH = CG = 3$ ，求 $EF$ 和 $CD$ 的长．

如图，过 $C$ 点的直线 $y = - \frac{1}{2} x - 2$ 与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ 两点，且 $BC = AB$ ，过点 $C$ 作 $CH ⊥ x$ 轴，垂足为点 $H$ ，交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象于点 $D$ ，连接 $OD$ ， $ΔODH$ 的面积为6．

（1）求 $k$ 值和点 $D$ 的坐标；

（2）如图，连接 $BD$ ， $OC$ ，点 $E$ 在直线 $y = - \frac{1}{2} x - 2$ 上，且位于第二象限内，若 $ΔBDE$ 的面积是 $ΔOCD$ 面积的2倍，求点 $E$ 的坐标．

时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口 $A$ 处向正南方向走300米到达革命纪念碑 $B$ 处，再从 $B$ 处向正东方向走到党史纪念馆 $C$ 处，然后从 $C$ 处向北偏西 $37 °$ 方向走200米到达人民英雄雕塑 $D$ 处，最后从 $D$ 处回到 $A$ 处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东 $65 °$ 方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ ， $\sin 65 ° \approx 0.91$ ， $\cos 65 ° \approx 0.42$ ， $\tan 65 ° \approx 2.14)$

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$ ，且 $AO = CO$ ，点 $E$ 在 $BD$ 上，满足 $∠ EAO = ∠ DCO$ ．

（1）求证：四边形 $AECD$ 是平行四边形；

（2）若 $AB = BC$ ， $CD = 5$ ， $AC = 8$ ，求四边形 $AECD$ 的面积．

为迎接建党一百周年，我市计划用两种花卉对某广场进行美化．已知用600元购买 $A$ 种花卉与用900元购买 $B$ 种花卉的数量相等，且 $B$ 种花卉每盆比 $A$ 种花卉多0.5元．

（1） $A$ ， $B$ 两种花卉每盆各多少元？

（2）计划购买 $A$ ， $B$ 两种花卉共6000盆，其中 $A$ 种花卉的数量不超过 $B$ 种花卉数量的 $\frac{1}{3}$ ，求购买 $A$ 种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？

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