（1）已知定点
、
，动点N满足
（O为坐标原点），
，
，
，求点P的轨迹方程.
（2）如图，已知椭圆
的上、下顶点分别为
，点
在椭圆上，且异于点，直线
与直线
分别交于点
，
（ⅰ）设直线的斜率分别为
、
，求证：
为定值；
（ⅱ）当点运动时，以
为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．
(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)
为了研究某种癌细胞的繁殖规律和一种新型抗癌药物的作用，将癌细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，癌细胞的繁殖规律与天数的关系如下表.已知这种癌细胞在小白鼠体内的个数超过
时小白鼠将会死亡，注射这种抗癌药物可杀死其体内癌细胞的
.
天数 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
… |
癌细胞个数 |
1 |
2 |
4 |
8 |
16 |
32 |
64 |
… |
(1)要使小白鼠在实验中不死亡，第一次最迟应在第几天注射该种药物？(精确到1天)
(2)若在第10天，第20天，第30天，……给小白鼠注射这种药物，问第38天小白鼠是否仍然存活？请说明理由.
(本题满分12分)
已知矩阵
的某个列向量的模不大于行列式
的值，求实数
的取值范围
（本题满分18分，第（1）题4分、第（2）题8分、第（3）题6分）
已知二次曲线
的方程：
．
（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；
（2）对于点
，是否存在曲线交直线
于
、
两点，使得
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由；
（3）已知与直线有公共点，求其中实轴最长的双曲线方程．
． (本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)
已知公差大于零的等差数列
的前
项和为
，且满足
，
，
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列
是等差数列，且
，求非零常数
；
（3）若（2）中的的前项和为
，求证：
．
(本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分)
设函数
，
（1）求
的反函数
；
（2）判断的单调性，不必证明；
（3）令
，当
，
时，在上的值域是
，求
的取值范围．