工人师傅要将一块如图（1）所示的白铁皮，经过适当的剪切后，焊-优题课

工人师傅要将一块如图（1）所示的白铁皮，经过适当的剪切后，焊接成一块与白铁皮面积相等的正方形铁皮（焊接时不计材料的损耗），按要求完成下列各题：

（1）正方形的边长为；
（2）请在图（1）中用虚线画出剪切线；
（3）在图（2）的方格纸中画出图（1）剪切后所拼成正方形的图案（保留拼接痕迹，不写画法）．

科目数学题型解答题难度较易

知识点：二元二次方程组

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 经过 $▱ ABCD$ 的顶点 $B$ ， $D$ ．点 $D$ 的坐标为 $(2, 1)$ ，点 $A$ 在 $y$ 轴上，且 $AD / / x$ 轴， $S_{▱ ABCD} = 5$ ．

（1）填空：点 $A$ 的坐标为　　；

（2）求双曲线和 $AB$ 所在直线的解析式．

某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同，原计划平均每天生产多少个零件？

某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．

类别	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$
节目类型	新闻	体育	动画	娱乐	戏曲
人数	12	30	$m$	54	9

请你根据以上的信息，回答下列问题：

（1）被调查的学生中，最喜爱体育节目的有　　人，这些学生数占被调查总人数的百分比为　　 $%$ ．

（2）被调查学生的总数为　　人，统计表中 $m$ 的值为　　，统计图中 $n$ 的值为　　．

（3）在统计图中， $E$ 类所对应扇形圆心角的度数为　　．

（4）该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱新闻节目的学生数．

如图，在 $▱ ABCD$ 中， $BE ⊥ AC$ ，垂足 $E$ 在 $CA$ 的延长线上， $DF ⊥ AC$ ，垂足 $F$ 在 $AC$ 的延长线上，求证： $AE = CF$ ．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx (a$ ， $b$ 为常数， $a \neq 0)$ 经过两点 $A (2, 4)$ ， $B (4, 4)$ ，交 $x$ 轴正半轴于点 $C$ ．

（1）求抛物线 $y = a x^{2} + bx$ 的解析式．

（2）过点 $B$ 作 $BD$ 垂直于 $x$ 轴，垂足为点 $D$ ，连接 $AB$ ， $AD$ ，将 $ΔABD$ 以 $AD$ 为轴翻折，点 $B$ 的对应点为 $E$ ，直线 $DE$ 交 $y$ 轴于点 $P$ ，请判断点 $E$ 是否在抛物线上，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，点 $Q$ 是线段 $OC$ （不包含端点）上一动点，过点 $Q$ 垂直于 $x$ 轴的直线分别交直线 $DP$ 及抛物线于点 $M$ ， $N$ ，连接 $PN$ ，请探究：是否存在点 $Q$ ，使 $ΔPMN$ 是以 $PM$ 为腰的等腰三角形？若存在，请求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．