如图①，△BCD内接于直角梯形，A1D∥A2A3，A1A2⊥-优题课

题文

如图①，△BCD内接于直角梯形，A₁D∥A₂A₃，A₁A₂⊥A₂A₃，A₁D＝10，A₁A₂＝8，沿△BCD三边将△A₁BD、△A₂BC、△A₃CD翻折上去，恰好形成一个三棱锥ABCD，如图②.

(1)求证：AB⊥CD；
(2)求直线BD和平面ACD所成的角的正切值；
(3)求四面体的体积。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：空间向量的应用平行线法

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已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $P (0, 1)$ 和点 $A (m, n)$ $(m \neq 0)$ 都在椭圆 $C$ 上，直线 $P A$ 交 $x$ 轴于点 $M$ ．
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程，并求点 $M$ 的坐标（用 $m$ ， $n$ 表示）；
（Ⅱ）设 $O$ 为原点，点 $B$ 与点 $A$ 关于 $x$ 轴对称，直线 $P B$ 交 $x$ 轴于点 $N$ ．问： $y$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使得
$∠ O Q M = ∠ O N Q$ ？若存在，求点 $Q$ 的坐标；若不存在，说明理由．

已知函数 $f (x) = \ln \frac{1 + x}{1 - x}$ ．
（Ⅰ）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当 $x \in (0, 1)$ 时， $f (x) > 2 (x + \frac{x^{3}}{3})$ ；
（Ⅲ）设实数 $k$ 使得 $f (x) > k (x + \frac{x^{3}}{3})$ 对 $x \in (0, 1)$ 恒成立，求 $k$ 的最大值．

如图，在四棱锥 $A - E F C B$ 中， $△ A E F$ 为等边三角形，平面 $A E F ⊥$ 平面 $E F C B$ ， $E F / / B C$ ， $B C = 4$ ， $E F = 2 a$ ， $∠ E B C = ∠ F C B = 60 °$ ， $O$ 为 $E F$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $A O ⊥ B E$ ；
（Ⅱ）求二面角 $F - A B - B$ 的余弦值；
（Ⅲ）若 $B E ⊥$ 平面 $A O C$ ，求 $a$ 的值．

，两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
组：10，11，12，13，14，15，16
组：12，13，15，16，17，14，
假设所有病人的康复时间互相独立，从，两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的
人记为乙．
（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；
（Ⅱ）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（Ⅲ）当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）

已知函数 $f (x) = \sqrt{2} \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - \sqrt{2} \sin^{2} \frac{x}{2}$ ．
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的最小正周期；
（Ⅱ）求 $f (x)$ 在区间 $[- π, 0]$ 上的最小值．

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